En la segunda cuantización utilizamos Hamiltoniano de la forma: $$H=\int d^3x [ \psi^{\dagger}(x) h \psi(x)],$$ where $h$ es Hamiltoniana de la densidad. El campo de los operadores tienen la siguiente forma: $$\psi = \sum\limits _{i} \phi(x) a(t),$$ $$\psi^{\dagger}=\sum\limits_{i}\phi^{*}(x)a^{\dagger}(t),$$ where $un$ and $^{\daga}$ son los operadores de creación y aniquilación. Quiero probar este formalismo de Hamilton: $$H=\sum\limits_{i}{H}_{i}+\sum\limits_{i,j}V(\vec{r}_{i}-\vec{r}{_j}).$$ En el Mahan libro, existe la siguiente expresión: $$H=\sum\limits_{lm}a^{\dagger}_{l}a_{m}H_{lm}+\sum\limits_{lmij}a^{\dagger}_{j}a^{\dagger}_{m}a_{l}a_{i} \cdot \int d^3 r_{1}d^{3}r_{2}\phi^{*}_{m}(r_{1})\phi_{l}(r_{2})V(r_{1}-r_{2})\phi^{*}_{j}(r_{2})\phi_{i}(r_2).$$ No entiendo cómo se obtiene esta fórmula, especialmente por qué hay dos integrales en el segundo término. Hay una manera sencilla de obtener este tipo de Hamilton?
Respuesta
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$ \newcommand{\cy}[1]{\left| #1 \right\rangle} \newcommand{\Psih}{\hat{\Psi}} \newcommand{\Psihd}{\hat{\Psi}^\daga} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\Hh}{\hat{H}} \newcommand{\Hsp}{\Hh_{\mathrm{sp}}} $
La respuesta corta es que la "densidad Hamiltoniana" de su pregunta para un sistema con dos cuerpos de las interacciones es $\hat{h}=-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m} + U(\bx) + \frac12 \int d \bx' \Psihd(\bx') V(\bx-\bx')\Psih(\bx')$. Que es donde las otras integral. El otro integrante es no, porque los dos cuerpo Hamiltoniano depende de la posición de dos partículas (como @Lagerbaer dice en un comentario).
El Hamiltoniano es, a continuación, $\Hh =\int d\bx \Psihd(\bx)\hat{h}\Psih(\bx) = \Hsp + \hat{V}$ donde
$$\begin{align}
\Hsp &= \int d\bx \Psihd(\bx) \left[-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m} + U(\bx)\right]\Psih(\bx)\\
\hat{V} &= \frac12 \int d\bx d \bx' \Psihd(\bx) \Psihd(\bx') V(\bx-\bx')\Psih(\bx')\Psih(\bx)
\end{align}$$
Podemos pensar en esto como un ansatz de la teoría cuántica de campos, para ser probado por el experimento, pero podemos comprobar que está de acuerdo con el ordinario de la mecánica cuántica (por debajo de los dos cuerpos término de interacción). El mejor enfoque es satisfacer a ti mismo que esto tiene sentido, de una vez por todas, a continuación, utilizarlo como punto de partida. De $\Hh$, es fácil llegar a su final Hamiltonianos sustituyendo en su base de expansión de los operadores de campo.
Ahora, te voy a mostrar que la aplicación de $\hat{V}$ $n$- cuerpo ket $$\ket{\chi_n} = \int d\bx_1 \dots d\bx_n \chi(\bx_1,\dots\bx_n) \prod_k \Psihd(\bx_k)\ket{0}$$ es equivalente a la interacción $\frac12 \sum_{i,j} V(\bx_i-\bx_j)\chi(\bx_1,\dots\bx_n)$ usted en su pregunta (tenga en cuenta que su pregunta, le falta un factor de media, ver Mahan Eq. 1.134). El siguiente es dada en una forma ligeramente diferente en la Greiner, la Mecánica Cuántica Capítulos Especiales, Ex. 6.1.
Utilizamos las relaciones de conmutación $[\Psih(\bx),\Psihd(\bx')]_\pm = \delta(\bx-\bx')$ a mover los dos operadores de aniquilación en $\hat{V}\ket{\chi_n}$$\ket{0}$, luego nos trasladamos a la creación de los operadores de $\Psihd(\bx)$ $\Psihd(\bx')$ a llenar los vacíos en $\ket{\chi_n}$. Cada vez que viajamos, nos recoger un plazo $\delta(\bx-\bx_i)$ y para fermiones de convertir la señal del resto, hasta que finalmente nos puede aniquilar el vacío. Nos encontramos, progresivamente \begin{align} \Psih(\bx)\prod_k \Psihd(\bx_k)\ket{0} &= \sum_i (\pm 1)^{i-1}\delta(\bx-\bx_i) \prod_{k:k \ne i} \Psihd(\bx_k)\ket{0} \\ \Psihd(\bx')\Psih(\bx')\Psih(\bx)\prod_k \Psihd(\bx_k)\ket{0} &= \sum_{i,j:i\ne j} (\pm 1)^{i-1}\delta(\bx-\bx_i) \delta(\bx'-\bx_j)\prod_{k:k\ne i} \Psihd(\bx_k)\ket{0}\\ \Psihd(\bx) \Psihd(\bx')\Psih(\bx')\Psih(\bx)\prod_k \Psihd(\bx_k)\ket{0} &= \sum_{i,j:i\ne j}\delta(\bx-\bx_i) \delta(\bx'-\bx_j)\prod_{k} \Psihd(\bx_k)\ket{0} \end{align} El medio de la ecuación anterior de la siguiente manera porque sin embargo muchos de los pasos que se tarda $\Psih(\bx')$ para llegar a $\bx_j$, $\Psihd(\bx')$ toma el mismo número de pasos, de modo que los factores de $\pm 1$ cancelar.
La última ecuación anterior es el tiempo de respuesta a tu pregunta: hay dos partículas (dos pares de operadores de campo) que conduce a dos de Dirac-delta funciones, por lo que vamos a necesitar las dos integrales para reproducir ordinaria de la mecánica cuántica. El parecido de derivación para la partícula de Hamilton, $\Hsp\ket{\chi_n}$, implica sólo un par de operadores de campo, por lo que sólo necesita una integral.
Así,
\begin{align*} \hat{V}\ket{\chi_n} &= \frac12 \int d\bx d \bx'd\bx_1 \dots d\bx_n V(\bx-\bx')\chi(\bx_1,\dots\bx_n)\Psihd(\bx) \Psihd(\bx') \Psih(\bx')\Psih(\bx)\prod_k \Psihd(\bx_k)\ket{0} \\ &= \frac12 \int d\bx d \bx'd\bx_1 \dots d\bx_n V(\bx-\bx') \sum_{i,j:i\ne j}\delta(\bx-\bx_i) \delta(\bx'-\bx_j) \chi(\bx_1,\dots\bx_n)\prod_k \Psihd(\bx_k)\ket{0}\\ &= \frac12 \int d\bx_1 \dots d\bx_n \sum_{i,j:i\ne j} V(\bx_i-\bx_j) \chi(\bx_1,\dots\bx_n)\prod_k \Psihd(\bx_k)\ket{0}\\ \end{align*} cual es el tipo de interacción que esperar.
