En un país donde todo el mundo quiere un niño, cada familia sigue teniendo hijos hasta que tienen un niño. Después de algún tiempo, ¿cuál es la proporción de niños y niñas en el país? (Suponiendo que la probabilidad de tener un niño o una niña es la misma)
Respuestas
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Andreas Blass
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Tanto en $B/G$ $G/B$ son variables aleatorias. Si el "poco de tiempo" en la pregunta es el tiempo suficiente para que cada familia ha tenido un niño, a continuación, $B$ es el número de $n$ de las familias, mientras que $G$ es una variable aleatoria cuya expectativa también es $n$. Así que si uno interpreta la pregunta acerca de la relación de las expectativas de $B$$G$, entonces la respuesta es $1$. Si, por el contrario, se interpreta a la pregunta acerca de la expectativa de la relación (que no es lo mismo como la relación de las expectativas!) luego las cosas se ponen más interesantes. La expectativa de $B/G$ es infinito, simplemente porque $\infty$ es uno de los posibles valores de $B/G$, ya que existe una probabilidad no nula de que cada familia tiene un niño en el primer intento y por lo $G=0$. Como para $G/B$ y no relacionado con la obvia cuestiones, véanse las respuestas a la MathOverflow pregunta citado en Qiaochu del Yuan comentario. Una divertida cálculo es que, cuando hay una sola familia (por lo $n=1$), la expectativa de $B/(B+G)$, que podría ser considerado como la proporción de niños entre los hijos de la familia única, es $\ln(2)$. Específicamente, $B/(B+G)$ tiene los posibles valores de $1/k$ para todos los enteros positivos $k$, y la probabilidad de que el valor de$1/k$$2^{-k}$; la expectativa es dada por una serie infinita, cuya suma resulta ser $\ln(2)$.
WillO
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Obviamente, la proporción de niños y niñas podría ser cualquier número racional, o infinito. Si usted fijar bien el número de familias o, más generalmente, especificar una distribución de probabilidad sobre el número de familias, entonces B/G es una variable aleatoria con infinito valor esperado (porque siempre hay alguna que no sea cero probabilidad de que G=0).
acidzombie24
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28569
La previsión del número de niños por familia es claramente 1. La probabilidad de que una familia tenga exactamente $k$ de las niñas es $(1/2)^k \cdot (1/2) = (1/2)^{k+1}$, mientras que el primer a$k$ ", señala a" la necesidad de ser una niña, mientras que el $(k+1)$'th dibujar necesita para ser un chico (si no para el segundo, la familia podría tener más de $k$ niñas).
Por lo tanto, se espera que el número de niñas en una familia es
$$(1/2) \cdot 0 + (1/4) \cdot 1 + (1/8) \cdot 2 + (1/16) \cdot 3 +\dots = \sum_{k=0}^{\infty}(1/2)^{k+1} k$$
Debido a una conocida propiedad de distribuciones geométricas, este expection es igual a 1. La proporción de niños y niñas por lo tanto será 1.
Graham Kemp
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Si cada familia sigue teniendo hijos hasta que tienen un niño, cada familia tendrá un muchacho; excepto aquellos que no han dejado de tener hijos todavía, o aquellos que no son capaces de continuar debido a diversas circunstancias. Vamos a pasar por alto estas, como no tenemos suficiente información para considerar tal. (Del mismo modo cuántos nacimientos son gemelos?)
El número esperado de las niñas en las familias que tienen un niño es $1$, por la razón de que esta cuenta con un geométricamente distribuidos variable aleatoria (de los fallos antes de que el éxito), y para$\;G\sim\mathcal{Geo_0}(p)\;$,$\;\mathsf E(G) = (1-p)/p\;$.
Esto conduce a un teórico espera que la proporción de $1:1$ niños y niñas en el país.
Por supuesto, vamos a realmente espera que la relación sea un poco mayor, porque hay familias que no tienen niños (aún). Pero no podemos decir qué proporción de las familias de estos puede ser.
