Cierta persona me dijo: "El hecho de que Ultra existen Filtros es equivalente al Axioma de elección".
Es esto correcto? Yo nees algunas buenas referencias sobre el tema, por favor, ayúdame.
Gracias
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El axioma de elección implica que cada filtro puede ser extendido a un ultrafilter. Sin embargo, la implicación no puede ser revertido.
En Cohen primer modelo, el axioma de elección no mal: los números reales no puede ser bien ordenado, y el axioma de contables elección falla. Sin embargo, en este modelo, el ultrafilter lema sostiene.
Cabe mencionar que el ultrafilter lema es equivalente a la de muchos teoremas de ZFC: compacidad teorema de la lógica; la integridad teorema de la lógica; Tychonoff teorema de Hausdorff espacios; y más. Sin embargo es todavía más débil que el axioma de elección.
Usted puede conseguir un poco de elección de la ultrafilter lema, aunque. El ultrafilter lema implica que todo conjunto puede ser linealmente ordenado. Por lo tanto, si $\cal A$ es de la familia de los no-vacío finito de conjuntos, se puede fijar un lineal de orden de $\bigcup\cal A$ y elija el mínimo de todos los $A\in\cal A$. Sin embargo, esto es todo lo que usted seguramente puede hacer.
De hecho, la existencia de libre ultrafilters es incluso más débil que el de ultrafilter lema. Es decir, no es un modelo en el que cada conjunto infinito tiene un ultrafilter, pero hay filtros que no puede ser extendida a ultrafilters.
No estoy seguro de si todavía esto implica que todo conjunto puede ser linealmente ordenado, y por lo tanto es posible que no implica elección para finito de conjuntos.
Cuatro excelentes recursos para el axioma de elección de temas relacionados con:
Herrlich, H. Axioma de Elección. Notas de la conferencia en Matemáticas, Springer, 2006.
Jech, T. El Axioma de Elección. North-Holland (1973).
Howard, P. y Rubin, J. E. Consecuencias del Axioma de Elección. American Mathematical Soc. (1998). También consulte la base de datos en línea para el libro.
Moore, G. H. Zermelo del Axioma de Elección. Springer-Verlag (1982).
George Gaál
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367
No, no es correcto. El ultrafilter teorema es implícita, pero no implica el axioma de elección. Ver p. 75 de Jech, la Teoría de conjuntos.
Teorema de (ZFC) Cada filtro puede ser extendido a un ultrafilter.
De hecho, el ultrafilter teorema es un principio de elección más débiles que los de CA: es equivalente, más de ZF, para el Booleano Primer Ideal Teorema.
Teorema de (ZFC) de Todos los ideales en un álgebra de boole $B$ puede ser extendido a un alojamiento ideal.
Esta equivalencia tiene algo de interés en la lógica matemática, ya que estos teoremas son equivalentes, de nuevo a través de ZF, a dos clásicos de los resultados: el teorema de completitud y compacidad teorema de primer orden predicado de cálculo.
DiGi
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1925
No es cierto. En primer lugar, siempre hay un director (o fijo) ultrafilters: si $S$ es cualquier conjunto no vacío, y $s\in S$, $\{U\subseteq S:s\in U\}$ es una de las principales (o fijo) ultrafilter en $S$. Tenga en cuenta que en este caso $\bigcap\mathscr{U}=\{s\}$.
Un ultrafilter $\mathscr{U}$ sobre un conjunto $S$ es gratis si $\bigcap\mathscr{U}=\varnothing$. No hay libre ultrafilters en cualquier conjunto finito. La existencia de la libre ultrafilters en conjuntos infinitos requiere una cierta cantidad de su elección, pero menos que el axioma de elección. En concreto, la afirmación de que cada filtro puede ser extendido a un ultrafilter es equivalente a la Booleano primer ideal teorema, que es independiente de la ZF, pero, por un resultado de Halpern y Levy, estrictamente más débil que el axioma de elección.
