Combinatoria Prueba: $n! = 1+\sum\limits_{r=1}^{n-1}( r\cdot r!)$

Question

Para mostrar cierto es $r\times r!$ puede ser algebraicamente descomponerse como $(r+1)!-r!$

Pero estoy tratando de pensar en una combinatoria de la prueba. Si $S$ es el conjunto de todas las permutaciones de $\{1,2,\cdots ,n\}$ entonces la necesidad de una definición para el mutuo no se solapan subconjuntos $S_r$ cuya unión es $S$. Así que tendré $|S|=\sum|S_r|$. Soy incapaz de pensar de tal descomposición.

Answer 1

Sugerencia: Nos están dividiendo a las permutaciones que no se soluciona $1$, (Hay ($(n-1)\times (n-1)!$) de estos), y los que lo hacen (todo lo demás). Para contar los que fix $1$, nos hemos dividido en las $(n-2)\times(n-2)!$ permutaciones que no se soluciona $2$, y la izquierda sobre el número que arreglar $2$. Continuar de esta manera podemos obtener su suma. (El que viene de la identidad de permutación)