Derivando la primera ley de Newton desde el principio de la menor acción

Question

La primera ley de Newton establece que si la fuerza neta sobre un objeto es cero, entonces este objeto se mueve con velocidad constante.

Estoy interesado en la derivación de esta ley desde el principio de la menor acción. Lo que debe probarse es bastante sencillo: dado un objeto que está en un sistema aislado con la ausencia de cualquiera de los campos de fuerza, el Lagrangiano de que el objeto es simplemente su energía cinética.

Deje que la función de posición de ese objeto dado por $x(t)$. Este es arbitraria función no lineal. su energía cinética está dada por $\dfrac{1}{2}m[x'(t)]^2$. dado un intervalo de tiempo $[t_1, t_2]$, la acción de este objeto es la integral en el tiempo de su Lagrange (su energía cinética en este caso) de$t_1$$t_2$:

$$\text{action}=S=\int_{t_1}^{t_2}\dfrac{1}{2}m[x'(t)]^2 dt \, .$$

Si el objeto se mueve en un movimiento uniforme a lo largo de $x(t_2)-x(t_1)$ en el intervalo de $[t_1,t_2]$, entonces su velocidad está dada simplemente por la velocidad media: total de la distancia por el tiempo :

$$v_{\text{average}} = \dfrac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1} \, .$$

Utilizando el principio de la menor acción, demostrando la primera ley de Newton es equivalente a probar que la acción dada por

$$\int_{t_1}^{t_2}\dfrac{1}{2} m \left[ \dfrac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1} \right]^2 dt$$

siempre es menor que la de

$$\int_{t_1}^{t_2}\dfrac{1}{2}m[x'(t)]^2 dt.$$

Este es a mi entender el problema. Feynman en sus conferencias le da un argumento para convencernos de por qué el resultado anterior he dicho debe ser cierto(el resultado es que la integral en el tiempo de la energía cinética de un objeto en movimiento uniforme es siempre menor que la de un objeto en el no-movimiento uniforme):

"Como un ejemplo, digamos que su trabajo es comenzar desde casa y llegar a la escuela en un período de tiempo determinado con el coche. Puede hacerlo de varias maneras: puede acelerar como un loco en el principio y frenar con los frenos cerca del final, o usted puede ir a una velocidad uniforme, o usted puede ir hacia atrás por un tiempo y luego ir hacia adelante, y así sucesivamente. La cosa es que el promedio de la velocidad tiene que ser, por supuesto, la distancia total que ha pasado el tiempo. Pero si usted no hace otra cosa que ir a una velocidad uniforme, entonces a veces se va demasiado rápido y a veces va demasiado lento. Ahora la media de la plaza de algo que se desvía alrededor de una media, como ustedes saben, siempre es mayor que el cuadrado de la media; por lo que la energía cinética integral siempre sería mayor si se tambaleó a su velocidad que si usted fue a una velocidad uniforme. Así, vemos que la integral es un mínimo si la velocidad es una constante (cuando no hay fuerzas)."

La parte que yo entiendo: es cierto que la acción de un objeto que se mueve de manera uniforme está dada por la integral de "el cuadrado de la media" de la velocidad multiplicada por $\dfrac{1}{2}m$. Creo que por el cuadrado de la media, quiere decir: $v_{\text{average}}^2 = \left[ \dfrac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1} \right]^2$.

No entiendo cómo el Lagrangiano de un objeto que está en movimiento no uniforme es igual a "cuadrada de la media aritmética de algo que se desvía alrededor de una media" (de nuevo, multiplicado por $m/2$).

Supongo que él entiende por la cuadrada de la media aritmética: la media(o promedio) de la energía cinética de un cuerpo: que es :

$$\dfrac{\dfrac{1}{2}m[x'(t_2)]^2-\dfrac{1}{2}m[x'(t_2)]^2}{t_2-t_1}.$$

Es mi entendimiento correcto? y si es así, Cómo es el caso de que este "cuadrático" la expresión es igual a la de lagrange de un objeto con el no-movimiento uniforme?

Answer 1

Primero un par de resultados generales: dada una función de $f(t)$ y un intervalo de $T = [t_1,t_2]$, el cuadrado de la media de $f$ $T$ es $$\langle f\rangle_T^2 = \biggl(\frac{1}{t_2 - t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\,\mathrm{d}t\biggr)^2$$ y la media de la plaza de $f$ $T$ es $$\langle f^2\rangle_T = \frac{1}{t_2 - t_1}\int_{t_1}^{t_2}\bigl[f(t)\bigr]^2\,\mathrm{d}t$$ En este caso, la función relevante es la velocidad, por lo que tiene (o puede mostrar) que $$\begin{align} \langle v\rangle_T^2 &= \biggl(\frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}\biggr)^2 & \langle v^2\rangle_T &= \frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2}\bigl[v(t)\bigr]^2\,\mathrm{d}t \end{align}$$ Su error fue pensar que $$\langle v^2\rangle_T = \frac{\bigl[v(t_2)\bigr]^2 - \bigl[v(t_1)\bigr]^2}{t_2 - t_1}\tag{not correct}$$ No es siempre el caso de que la media es de algún valor final menos algún valor inicial dividido por el intervalo. Que sólo funciona cuando la cosa se trata de calcular la media de puede ser integrado.

Con eso en mente, se debe tener claro cómo la media de la plaza es relevante: se muestra directamente en el Lagrangiano.

Answer 2

Sugerencias:

1. Por media/media Feynman medios temporal media/media se define como $$\tag{1} \langle f \rangle ~:=~\frac{ \int_{t_i}^{t_f}\! dt~ f(t)}{t_f-t_i} . $$

2. Desigualdad: La media del cuadrado es siempre mayor que el cuadrado de la media $$\tag{2}\langle f^2 \rangle ~\geq ~ \langle f \rangle^2.$$ Hay varias pruebas de ineq. (2), por ejemplo, la varianza es siempre no negativo.

3. Finalmente poner el $f(t)=v(t)$.