El grupo de orden 15 es abeliano

Question

¿Cómo puedo demostrar que un grupo de orden 15 es abeliano?

¿Existe alguna estrategia general para demostrar que un grupo de orden particular (orden compuesto) es abeliano?

Answer 1

Aquí es un trabajo del año 2000 de Pakianathan y Shankar que da caracterizaciones del conjunto de enteros positivos $n$ tal que todo grupo de orden $n$ es (i) cíclica, (ii) abeliana, o (iii) nilpotente.

Digamos que un número entero positivo $n > 1$ es un número nilpotente si $n = p_1^{a_1} \cdots p_r^{a_r}$ (aquí el $p_i$ son números primos distintos) y para todo $1 \leq i,j \leq r$ y $1 \leq k \leq a_i$ , $p_i^k \not \equiv 1 \pmod{p_j}$ . Además, digamos que $1$ es un número nilpotente.

(Así, por ejemplo, cualquier potencia prima es un número nilpotente. Un producto de dos primos distintos $pq$ es un número nilpotente a menos que $p \equiv 1 \pmod q$ o $q \equiv 1 \pmod p$ .)

Entonces, para $n \in \mathbb{Z}^+$ :

(i) (Pazderski, 1959) Todo grupo de orden $n$ es nilpotente si $n$ es un número nilpotente.
(ii) (Dickson, 1905) Todo grupo de orden $n$ es abeliano si $n$ es un número nilpotente sin cubo.
(iii) (Szele, 1947) Todo grupo de orden $n$ es cíclico si $n$ es un número nilpotente libre de cuadrados.

Por ejemplo, si $n = pq$ es un producto de primos distintos, entonces $n$ es libre de cuadrados, por lo que todo grupo de orden $n$ es nilpotente si todo grupo de orden $n$ es abeliano si todo grupo de orden $n$ es cíclico si $p \not \equiv 1 \pmod q$ y $q \not \equiv 1 \pmod p$ . En particular, todo grupo de orden $15$ es cíclico.

Apéndice : Este El artículo de 2006 de T. Müller es una continuación natural. En lugar de describirlo yo mismo, permítanme citar la reseña de MathSciNet.

Es un problema popular encontrar para qué enteros positivos n todos los grupos de orden n tienen una determinada propiedad (por ejemplo, ciclicidad, son abelianos, etc.). El artículo que se examina contiene una contribución a este problema que parece haber pasado desapercibida. Definir una función multiplicativa $\psi$ en los enteros positivos dejando que $\psi(1)=1$ y $\psi(p^)=(p^{}1)(p^{1}1)\cdots(p1)$ si $p$ es un primo y $\geq 1$ . El autor demuestra que todo grupo de orden $n$ es nilpotente de clase como máximo $c$ si y sólo si $\operatorname{gcd}(n,\psi(n))=1$ y $n$ es $(c+2)$ -sin poder. Configurar $c=\infty$ se obtiene un resultado de G. Pazderski [Arch. Math. 10 (1959), 331--343; MR0114863 (22 #5681)] que describe el caso de la nilpotencia; y fijando $c=1$ se obtiene el resultado clásico de L. E. Dickson [Trans. Amer. Math. Soc. 6 (1905), nº 2, 198--204; MR1500706] que describe el caso de abelianidad. (Revisado por Arturo Magidin )

Answer 2

Dejemos que $G$ sea un grupo de orden 15. Sabemos que $G$ tiene subgrupos de orden 3 y de orden 5, digamos $P_3$ y $P_5$ de la teoría de Sylow. Estos deben ser cíclicos (¿por qué?) así que escribe $P_3 = \langle a \rangle$ , $P_5 = \langle b \rangle$ .

Utilizando el lema siguiente, demuestre $G = P_3P_5$ . Demuestra el lema si no es algo que ya sabes.

Lema. Para los subgrupos $H$ y $K$ de un grupo finito $G$ , $|HK| = |H||K|/ |H \cap K|$ , donde $HK = \{hk \mid h \in H, k \in K\}$ .

Utilizando la teoría de Sylow, demuestre $P_3$ es normal.

Entonces $bab^{-1} \in \langle a \rangle$ . Si $bab^{-1} = a$ tenemos $ba = ab$ Así que $G$ es abeliano. Obsérvese que $bab^{-1} \neq 1$ (¿por qué?). La única posibilidad "mala" ahora es que $bab^{-1} = a^2$ .

Supongamos, para obtener una contradicción, que $bab^{-1} = a^2$ . Entonces $ba = a^2b$ . Utilizando esta identidad repetidamente para rellenar el $ \cdots $ , mostrar $a = b^5a = \cdots = a^2b^5 = a^2$ . Pero $a \neq a^2$ Por lo tanto, esto es una contradicción.

PS - Desde $P_3$ y $P_5$ son ambos normales, se podría argumentar en cambio que $G = P_3P_5$ implica $G \simeq P_3 \times P_5$ . En general, se puede adaptar este argumento para demostrar para los primos $p,q$ con $p > q$ y $q \nmid p - 1$ todo grupo de orden $pq$ es abeliana.

Answer 3

Pista: Cualquier subgrupo no trivial es un subgrupo de Sylow. Por otro lado, los teoremas de Sylow dicen que sólo hay uno de orden 3, y sólo uno de orden 5. Por lo tanto hay 15-5-3+1=8 elementos que no pertenecen a un subgrupo propio, así que...

Answer 4

Además de las respuestas de Hans y Pete: es sabido que si $n$ es un número natural, sólo hay un grupo de orden $n$ si y sólo si $\gcd(n,\phi(n))=1$ . Aquí $\phi$ es la función totiente de Euler. Para $n=15$ esto se aplica.

Answer 5

Otra forma más sencilla:

Aquí, $|G|=15=3.5$

Como $3\not|=4=(5-1)$ Así que $G$ es cíclico y, por tanto, abeliano.