Tratando de probar $\frac{2}{n+\frac{1}{2}} \leq \int_{1/(n+1)}^{1/n}\sqrt{1+(\sin(\frac{\pi}{t}) -\frac{\pi}{t}\cos(\frac{\pi}{t}))^2}dt$

Question

¡He publicado esto incorrectamente hace varias horas y ahora estoy de vuelta! Así que esta vez es correcto. Estoy tratando de mostrar que para $n\geq 1$ :

$$\frac{2}{n+\frac{1}{2}} \leq \int_{1/(n+1)}^{1/n}\sqrt{1+\left(\sin\left(\frac{\pi}{t}\right) -\frac{\pi}{t}\cos\left(\frac{\pi}{t}\right)\right)^2}dt$$

Lo he comprobado numéricamente para varios valores de $n$ hasta $n=500$ y los límites son extremadamente estrechos.

Llevo un tiempo dándome de bruces con esta integral y realmente no veo la forma de simplificarla tal y como está o de recortar una mínima cantidad para hacerla más apetecible. Espero que alguien pueda ayudarme. Gracias.

Answer 1

La respuesta de Potato es lo que sucede geométricamente. Si lo quieres de forma analítica: $$\sqrt{1+\left(\sin\left(\frac{\pi}{t}\right) -\frac{\pi}{t}\cos\left(\frac{\pi}{t}\right)\right)^2} \geq \sqrt{\left(\sin\left(\frac{\pi}{t}\right) -\frac{\pi}{t}\cos\left(\frac{\pi}{t}\right)\right)^2}$$ $$ = \bigg|\sin\left(\frac{\pi}{t}\right) -\frac{\pi}{t}\cos\left(\frac{\pi}{t}\right)\bigg|$$ La expresión anterior es el valor absoluto de la derivada de $t\sin(\pi/t)$ . Así que su integral es mayor que $$\int_{1 \over n + 1}^{1 \over n + {1 \over 2}}|(t\sin({\pi \over t}))'|\,dt + \int_{1 \over n + {1 \over 2}}^{1 \over n}|(t\sin({\pi \over t}))'|\,dt$$ Esto es al menos lo que se obtiene cuando se ponen los valores absolutos en el exterior, o $$\bigg|\int_{1 \over n + 1}^{1 \over n + {1 \over 2}}(t\sin({\pi \over t}))'\,dt\bigg| + \bigg|\int_{1 \over n + {1 \over 2}}^{1 \over n}(t\sin({\pi \over t}))'\,dt\bigg|$$ Entonces el teorema fundamental del cálculo dice que esto es igual a lo siguiente, para $f(t) = t \sin(\pi/t)$ : $$\bigg|f({1 \over n + {1 \over 2}}) - f(0)\bigg| + \bigg|f({1 \over n}) - f({1 \over n + {1 \over 2}})\bigg|$$ $$= \bigg|{1 \over n + {1 \over 2}} - 0\bigg| + \bigg|0 -{1 \over n + {1 \over 2}}\bigg|$$ $$ = {2 \over n + {1 \over 2}}$$

Answer 2

No es difícil demostrar (por ejemplo, en el problema que sigue al que has publicado, el ejercicio 10 de la sección 1-3 de Geometría diferencial de curvas y superficies por Do Carmo) que la longitud de arco de y arco con puntos finales $x$ y $y$ es al menos la longitud del segmento de recta que los une. En cualquier caso, el problema sólo pide una prueba "geométrica".

Esa integral es la longitud de arco de la curva $f(t) =(t,\sin (\pi/t))$ entre los puntos $t=1/(n+1)$ y $t=1/n$ . Estos puntos son $(1/(n+1), \sin((n+1)\pi)/(n+1))$ y $(1/n, \sin(n\pi)/n)$ (por lo que el $y$ las coordenadas son $0$ ). Llámalos $A$ y $B$ respectivamente. El arco pasa por el punto $(1/(n+1/2),\sin(n\pi/2)/(n+(1/2))=(1/(n+1/2),\pm 1/(n+(1/2))$ . Llama a este $C$ . Vemos que la longitud del arco es al menos la suma de la longitud de los segmentos $AC$ y $CB$ . Cada uno de ellos tiene una longitud de al menos $\frac{1}{n+\frac{1}{2}}$ (dibujar el cuadro. Esta es la longitud de la perpendicular a la $x$ -eje).

Answer 3

Ahora que he terminado esto, veo que es similar al planteamiento que utilizó Zarrax, pero parece un poco más sencillo, así que lo postearé además.

Utilizando los siguientes datos $$ \sqrt{x^2+1}\ge|x|\tag{1} $$ $$ |x-y|\ge\mathrm{sgn}(x)(x-y)\tag{2} $$ con un cambio de variables $t\mapsto 1/t$ obtenemos $$ \begin{align} &\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}\sqrt{1+\left(\sin\left(\frac{\pi}{t}\right) -\frac{\pi}{t}\cos\left(\frac{\pi}{t}\right)\right)^2}\mathrm{d}t\\ &=\int_n^{n+1}\sqrt{1+(\sin(\pi t)-\pi t\cos(\pi t))^2}\frac{\mathrm{d}t}{t^2}\\ &\ge\int_0^1\left|\frac{\pi \cos(\pi t)}{n+t}-\frac{\sin(\pi t)}{(n+t)^2}\right|\mathrm{d}t\\ &\ge\int_0^1\mathrm{sgn}(\cos(\pi t))\left(\frac{\pi \cos(\pi t)}{n+t}-\frac{\sin(\pi t)}{(n+t)^2}\right)\mathrm{d}t\\ &=\int_0^1\mathrm{sgn}(\cos(\pi t))\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\sin(\pi t)}{n+t}\right)\mathrm{d}t\\ &=\left(\frac{\sin(\pi/2)}{n+\frac12}-\frac{\sin(0)}{n}\right)+\left(\frac{\sin(\pi/2)}{n+\frac12}-\frac{\sin(\pi)}{n+1}\right)\\ &=\frac{2}{n+\frac12}\tag{3} \end{align} $$

Answer 4

Sugerencia : observa que la integral puede escribirse como: $$\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}\sqrt{1+\left(\sin\left(\frac{\pi}{t}\right) -\frac{\pi}{t}\cos\left(\frac{\pi}{t}\right)\right)^2}dt= \int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}\sqrt{1+{\left[\left(t\sin\left(\frac{\pi}{t}\right)\right)'\right]}^2}dt=\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}\sqrt{1 + [f(t)']^2}dt$$ donde $f(t)= t \sin\frac{\pi}{t}.$ Eso significa que tienes que demostrar que la longitud de la gráfica de la función $f(t)$ de $\frac{1}{n+1}$ a $\frac{1}{n}$ es mayor o igual que $\frac{2}{n+\frac{1}{2}}$ . ¿Qué ocurre con la función $f(t)= t \sin\frac{\pi}{t}$ en los puntos $\frac{1}{n+1}$ y $\frac{1}{n}$ ? Geométricamente, el resultado es evidente.