Cómo encontrar el mínimo de $m$ para un determinado $n$ en esta desigualdad?

Question

Para un determinado$n \in \Bbb N$, ¿cómo encontrar el mínimo de $m \in \Bbb N$ que se cumple la desigualdad de abajo?

$$3^{3^{3^{3^{\unicode{x22F0}^{3}}}}} (m \text{ times}) > 9^{9^{9^{9^{\unicode{x22F0}^{9}}}}} (n \text{ times})$$

Lo que he tratado de hacer hasta ahora es la descomposición de la $9$ en el lado derecho para $3*3$ o $3^2$, pero de ambas maneras no hacerme mucho mucho y no podía encontrar un patrón.

Answer 1

$9^{9^{9^{9^{\dots}}}} n$ veces $= 3^{2*3^{2*3^{2*3^2{\dots}}}} $, donde la parte superior de la mayoría de las $2$ $(n+1)^{th}$ de la energía.

$2*3^2 < 3^{2+1} = 3^3 $

$\implies 9^{9^{9^{9^{\dots}}}} n$ veces $\lt 3^{3^{3^{3^{\dots}}}} n+1 $ veces

Por eso, $ m = n + 1 $

Answer 2

Puedo decirles con certeza que m+n+1 es el valor mínimo de m. De trabajo a cabo es el verdadero problema. Estoy seguro de que es correcto, porque si usted toma la 3 es n+1 veces y restar el 9 n veces,

3^3^3^3 (n+1 times) - 9^9^9 (n times) > 0

siempre es positivo y la diferencia es cada vez mayor. Yo no tengo, sin embargo, ha sido capaz de modelo con una función que puede tomar la derivada de y encontrar un valor mínimo.

Answer 3

Deje $a_1=3,b_1=9,a_{n+1}=3^{a_n},b_{n+1}=9^{b_n}$, obviamente, tenemos $a_n ,b_n \in N$

$a_1<b_1$ .Supongamos $a_n<b_n$

$$a_{n+1}=3^{a_n}<3^{b_n}<9^{b_n}=b_{n+1}$$

$a_2>2b_1$ Supongamos $a_n>2b_{n-1}$

$$a_{n+1}=3^{a_n}\ge3^{2b_{n-1}+1}=3\cdot 9^{b_{n-1}}=3b_n>2b_n$$

Así, por medio de la inducción $a_n<b_n<\dfrac {a_{n+1}} 2<a_{n+1}$ por lo tanto el resultado de la siguiente manera