Prueba $f $ es idéntico a cero si $f(0)=0$ y $|f'(x)|\le|f(x)|$

Question

$f:\Bbb R \to\Bbb R $ es diferenciable, $f(0)=0$ y $|f'(x)|\le|f(x)|$ para todos $x$ entonces demuestre $f$ es idéntico a cero.

Intenté utilizar el teorema del valor medio y terminé en $|f(x)|\le |x||f(c)|$ para alguna constante $c$ que depende de $x$ . Puedes ayudarme un poco...

Answer 1

Iterar la estimación. Fijar $x = x_0$ con $\lvert x\rvert < 1$ , entonces para cada $n \geqslant 1$ Hay un $x_n$ (con $0 < \lvert x_n\rvert < \lvert x_{n-1}\rvert$ ) tal que $$\lvert f(x)\rvert \leqslant \lvert x\rvert^n\cdot \lvert f(x_n)\rvert.$$ Deduce $f \equiv 0$ en $(-1,1)$ . Utilice un argumento similar para deducir $f \equiv 0$ en $\mathbb{R}$ .

Answer 2

En primer lugar, demostraré que $f$ es idénticamente cero en $[0,1]$ .

Supongamos que $|f|$ alcanza un máximo en un punto $m$ que está garantizado por el Teorema del Valor Extremo. Podemos suponer que $m < 1$ ya que

$|f(1)| \le |f(c)|$ para algunos $c \in (0,1)$ .

De ello se desprende que

$|f(m)| \le m |f(c_m)|$ , donde $0<c_m < m$ .

Si $|f(c_m)|\ne 0$ entonces tenemos $|f(m)| < |f(c_m)|$ lo que contradice la maximalidad de $|f(m)|$ . Por lo tanto, $f(c_m) = 0$ y $f(m) = 0$ y $f$ debe ser idénticamente cero en $[0,1]$ .

Ahora, se puede aplicar el teorema del valor medio para obtener $|f(x)| < |x-1| |f(c)|$ para $c$ sur $(1,x)$ y aplicar el mismo argumento a $[1,2]$ y luego a $[2,3]$ etc.

Tenga en cuenta que el mismo argumento se puede utilizar para $[-1,0]$ , $[-2,-1]$ y luego a $[-3,-2]$ etc.