Se sabe que $m+n=5$$mn=3$. Entonces, ¿cuál es el valor de:
$$ \sqrt{\dfrac{n+1}{m+1}} + \sqrt{\dfrac{m+1}{n+1}} $$
Creo que nos suponga para resolver el sistema de ecuaciones de primero, pero no voy a conseguir ningún resultado útil.
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Danny solución es corto y agradable. Aquí es una forma alternativa, más y menos elegante solución:
Deje $\sqrt{\frac{n+1}{m+1}}+\sqrt{\frac{m+1}{n+1}}=t$. El cuadrado ambos lados, tenemos:
$$\frac{n+1}{m+1}+\frac{m+1}{n+1}+2=t^2$$
Simplificando, tenemos:
$$\frac{(n+1)^2+(m+1)^2}{(m+1)(n+1)}+2=t^2$$
es decir,
$$\frac{n^2+2n+1+m^2+2m+1}{mn+m+n+1}+2=t^2$$
es decir,
$$\frac{m^2+n^2+2(m+n)+2}{mn+m+n+1}+2=t^2$$
Pero, $m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$. Por lo tanto, tenemos:
$$\frac{(m+n)^2-2mn+2(m+n)+2}{mn+m+n+1}+2=t^2$$
Sustituyendo $m+n=5$$mn=3$, tenemos:
$$\frac{(5)^2-2(3)+2(5)+2}{3+5+1}+2=t^2$$
es decir,
$$\frac{31}{9}+2=t^2$$
es decir,
$$\frac{49}{9}=t^2$$
Por lo tanto, obtenemos $t=\frac{7}{3}$. Tenga en cuenta que podemos eliminar los falsos negativos de la solución de $-\frac{7}{3}$ $t$ debe ser mayor que $0$.
