Primero algunas simplificaciones. Pretender que el origen se mueve con el ladrón; entonces podemos decir que el ladrón siempre se detiene, mientras que cada policía (más bien, cada oficial de policía) se mueve 2 lugares a la izquierda con probabilidad de $1/4$, se mueve 2 lugares a la derecha con probabilidad de $1/4 de dólares, y se detiene con una probabilidad de $1/2$. Ahora bien podríamos escala por un factor de 2, por lo que la mueve a la izquierda y la derecha son de 1 punto cada una (y de los funcionarios inicio en 1 en lugar de 2, a pesar de que no afecta a si la expectativa es infinito). Por último, si te gusta, ignora la posibilidad de parado y dejar que cada oficial de la caminata al azar en $\mathbb Z$ con probabilidades de $1/2$ a la izquierda y a la derecha: de pie todavía sólo multiplica la expectativa por $2$, se espera que el tiempo que se necesita para mover un punto.
Así que hemos reducido el siguiente problema: $N$ los agentes de policía hacen un estándar de paseo aleatorio en $\mathbb Z$, a partir del 1. La expectativa de que el tiempo que toma para que uno de ellos golpeó el origen finito o infinito?
Una identidad general será útil aquí. Deje de $X_k$ ser una secuencia de independiente coin flips (no necesariamente justa o idénticos monedas) con posibles resultados S (Éxito) o F (Fallo). Deje de $FS(n)$ ser la probabilidad de que el $n$th flip es el Primer Éxito (es decir, $X_1=\cdots=X_{n-1}={}$F y $X_n={}$S). Deje de $NSY(n)$ ser la probabilidad de que No ha habido Éxitos Aún por el $$n th paso (es decir, $X_1=\cdots=X_{n}={}$F). Luego de la expectativa de que el primer éxito es
$$
\sum_{n=0}^\infty n FS(n) = \sum_{n=0}^\infty n \big( NSY(n-1)-NSY(n) \big) = \sum_{m=0}^\infty NSY(m)
$$
después telescópica de la suma.
Ahora bien, creo (pero alguien debería comprobar) que en un estándar de la caminata al azar en $\mathbb Z$ a partir de la 1, la probabilidad de que 0 aún no ha sido golpeado por el $$n th paso es asintóticamente proporcional a $1/\sqrt$ n. (Esto probablemente tiene que ver con el catalán números). Esta es una manera de ver que $E\tau_1$ es infinita: es la suma de la serie infinita de $NSY(m)$, donde cada término es esencialmente un número constante de veces $1/\sqrt m$.
En el $N$-oficial de caso, No hay Éxito sin Embargo, la probabilidad es sólo el $N$th poder de los Sin Éxito, Todavía probabilidad de que al $N=1$. Por lo tanto para $N=2$, la serie todavía (apenas) divergen, pero convergen para $N=3$; en otras palabras, $E\tau_2 = \infty$ pero $E\tau_3<\infty$.
