Definición de gavilla de ideales primos

Question

En el capítulo I.3.3 de Eisenbud & Harris "The Geometry of Schemes" dan una definición de "prime ideal sheaf":

Dejemos que $\mathcal{O}_S$ sea la gavilla estructural de un esquema $S$ y que $\mathcal{F}$ sea una gavilla cuasicoherente de $\mathcal{O}_S$ -de las álgebras. Entonces una gavilla de ideales primos $\mathcal{I} \subset \mathcal{F}$ es una gavilla cuasicoherente de ideales de $\mathcal{F}$ , tal que en eash afín abierto $U \subset S$ el ideal $\mathcal{I}_U$ es primo (o unidad).

Después afirman que las gavillas de ideales primos de $\mathcal{O}_S$ mismo corresponden a puntos de $S$ . Y aquí probablemente se me escapa algún punto, ya que no veo por qué lo siguiente no es un contraejemplo.

Consideremos el siguiente esquema no separado, presentado anteriormente en el mismo libro. Sea $S$ sea un esquema que se obtiene pegando dos copias de la línea afín $S_1 \simeq S_2 \simeq \mathrm{Spec} \, k[X]$ a lo largo del complemento de $0$ (Me refiero al ideal $(X)$ por supuesto) por morfismo de identidad, y dejemos que $0_1$ y $0_2$ sean los "dos ceros" de $S$ . Entonces creo que la gavilla de ideales correspondiente al subesquema reducido de dos puntos apoyado en $\{0_1, 0_2\}$ satisface la definición de gavilla de ideales primos, ya que ningún subconjunto abierto afín puede contener ambos puntos simultáneamente. Sin embargo, no creo que esta gavilla de ideales merezca llamarse prima, y viola claramente su afirmación.

Entonces, ¿en qué me equivoco? O si realmente es un contraejemplo, ¿cuál es la definición correcta entonces? ¿Es suficiente con añadir que $\mathcal{F}/\mathcal{I}$ debe tener un soporte irreducible?

Editar: Resulta que en la edición de papel (más reciente) sólo lo afirman para los esquemas afines.

Answer 1

Creo que tu contraejemplo es correcto (y esto también significa que la construcción Spec de Eisenbud se rompe; por cierto, hay una construcción Spec global que incluso funciona para espacios localmente anillados, ver aquí ). La definición correcta de una gavilla ideal primera es que el correspondiente subesquema cerrado es integral. Equivalentemente, debe ser irreducible y reducido. Mientras que la reducción se puede comprobar localmente, no es el caso de la irreducibilidad. Así que aquí tenemos una descripción más realista: $I \subseteq \mathcal{O}_S$ es primo si $I \neq \mathcal{O}_S$ para cada afín abierto $U \subseteq S$ el ideal $\Gamma(U,I) \subseteq \Gamma(U,\mathcal{O}_S)$ es primo o $(1)$ , y por cada inclusión $V \subseteq U$ de afines abiertos el mapa $\Gamma(U,\mathcal{O}_S) / \Gamma(U,I) \to \Gamma(V,\mathcal{O}_S) / \Gamma(V,I)$ es inyectiva.

PD: Puede ponerse en contacto con Eisenbud. Recoge las erratas de su libro.