En el capítulo I.3.3 de Eisenbud & Harris "The Geometry of Schemes" dan una definición de "prime ideal sheaf":
Dejemos que $\mathcal{O}_S$ sea la gavilla estructural de un esquema $S$ y que $\mathcal{F}$ sea una gavilla cuasicoherente de $\mathcal{O}_S$ -de las álgebras. Entonces una gavilla de ideales primos $\mathcal{I} \subset \mathcal{F}$ es una gavilla cuasicoherente de ideales de $\mathcal{F}$ , tal que en eash afín abierto $U \subset S$ el ideal $\mathcal{I}_U$ es primo (o unidad).
Después afirman que las gavillas de ideales primos de $\mathcal{O}_S$ mismo corresponden a puntos de $S$ . Y aquí probablemente se me escapa algún punto, ya que no veo por qué lo siguiente no es un contraejemplo.
Consideremos el siguiente esquema no separado, presentado anteriormente en el mismo libro. Sea $S$ sea un esquema que se obtiene pegando dos copias de la línea afín $S_1 \simeq S_2 \simeq \mathrm{Spec} \, k[X]$ a lo largo del complemento de $0$ (Me refiero al ideal $(X)$ por supuesto) por morfismo de identidad, y dejemos que $0_1$ y $0_2$ sean los "dos ceros" de $S$ . Entonces creo que la gavilla de ideales correspondiente al subesquema reducido de dos puntos apoyado en $\{0_1, 0_2\}$ satisface la definición de gavilla de ideales primos, ya que ningún subconjunto abierto afín puede contener ambos puntos simultáneamente. Sin embargo, no creo que esta gavilla de ideales merezca llamarse prima, y viola claramente su afirmación.
Entonces, ¿en qué me equivoco? O si realmente es un contraejemplo, ¿cuál es la definición correcta entonces? ¿Es suficiente con añadir que $\mathcal{F}/\mathcal{I}$ debe tener un soporte irreducible?
Editar: Resulta que en la edición de papel (más reciente) sólo lo afirman para los esquemas afines.
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¿Dónde se afirma exactamente que las gavillas de ideales primos corresponden a puntos de $S$ ? Por lo que veo, sólo lo afirman para los afines $S$ .
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@Vladimir: En mi edición del libro, justo después de la definición, se comenta (¡entre paréntesis!) "(Obsérvese que para cualquier esquema $X$ los puntos de $X$ son simplemente las láminas ideales primarias de $\mathcal{O}_X$ .)"
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@VladimirSotirov: Además, el mismo se da en realidad como Ejercicio I-51.
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En mi edición dice "(Obsérvese que para cualquier esquema afín $X$ los puntos de $X$ son simplemente las láminas ideales primarias de $\mathcal O_X$ .)" El ejercicio pide igualmente demostrar que los puntos de un esquema afín corresponden a gavillas de ideales primos (restringido a todo afín abierto es un ideal primo o el ideal unidad).
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El mío es probablemente un borrador compilado directamente desde el látex, así que asumo que acaban de corregirlo antes de publicarlo. Pero de todos modos, la definición es la misma, y sólo puedo decir que no me gusta por la razón explicada en el post. :)