Deje $\{X_n\}$ $\{Y_n\}$ dos martingales. Supongamos que para cada uno de ellos fijo $n \in \mathbb Z_+$, $X_n$ y $Y_n$ tienen la misma distribución. Hay que celebrar que las secuencias aleatorias $\{X_n\}$ $\{Y_n\}$ tienen la misma distribución? A primera vista esto parece ser falso, y traté de construir un contraejemplo el uso de distintas combinaciones de caminos aleatorios y las expectativas de un fijo variable aleatoria con respecto a una creciente colección de $\sigma$-álgebras. Sin embargo, no tuve éxito. ¿Alguien tiene un contraejemplo (o una prueba de que la respuesta a mi pregunta es afirmativa)?
Respuestas
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Para $p\in [0,\frac 13]$, vamos a $(Z_n^p)_{n\in\{0,1\}}$ ser un proceso determinado por la ley $A$Z^p_0 = \begin{cases}-1 & \text{ w.p. } \frac 13\\0 & \text{ w.p. } \frac 13\\1 & \text{ w.p. } \frac 13\\ \end{casos} $$ y $\mathbb{P}[Z^p_1=j|Z^p_0=i] = q_i^j$, donde
$$\begin{align} q_0^0 &= p\\ q_0^2 = q_0^{-2} &= \frac 12 -\frac p2\\ q_1^2 = q_{-1}^{-2} &= \frac 23 + \frac p4\\ q_1^0 = q_{-1}^0 &= \frac 16 - \frac p2\\ q_1^{-2} = q_{-1}^2 &= \frac 16 + \frac p4 \end{align} $$
Podemos comprobar directamente que $Z^p$ es una martingala, y que la ley de $Z^p_1$ es independiente de $p$:
$$ Z^p_1 = \begin{cases}-2 & \text{ w.p. } \frac 49\\0 & \text{ w.p. } \frac 19\\2 & \text{ w.p. } \frac 49\\ \end{casos} $$
La definición de $(X_n)_{n\in\mathbb{N}} = Z^0_{\min(n,1)}$$(Y_n)_{n\in\mathbb{N}} = Z^\frac{1}{3}_{\min(n,1)}$, hemos terminado.
Did
Puntos
1
Una construcción debido a Hamza y Klebaner sugiere el siguiente ejemplo. Considere algunas independiente yo.yo.d. las secuencias de $(R_n)_{n\geqslant1}$ $(W_n)_{n\geqslant0}$ de manera tal que la distribución de $W_n$ es normal estándar y $|R_n|\leqslant1$ casi seguramente. Suponga que $\varrho=\mathbb E[R_n]$ no es cero. Deje $(\mathcal F_n)_{n\geqslant0}$ la filtración se define por $\mathcal F_0=\sigma(W_0)$ $\mathcal F_{n+1}=\mathcal F_n\vee\sigma(W_{n+1},R_{n+1})$ por cada $n\geqslant0$.
Definir la secuencia de $(Z_n)_{n\geqslant0}$ recursivamente por $Z_0=W_0$ y, para cada $n\geqslant0$, $$ Z_{n+1}=R_{n+1}\cdot Z_n+\sqrt{1-R_{n+1}^2}\cdot W_{n+1}. $$ A continuación, cada una de las $Z_n$ es normal estándar, el proceso de $(Z_n)_{n\geqslant0}$ está adaptado a la filtración $(\mathcal F_n)_{n\geqslant0}$$\mathbb E[Z_{n+1}\mid\mathcal F_n]=\varrho Z_n$.
Por lo tanto el proceso de $(X_n)_{n\geqslant0}$ definido por $X_n=\varrho^{-n}Z_n$ por cada $n\geqslant0$ es una martingala y, para cada una de las $n\geqslant0$, la distribución de $X_n$ se centra normal con varianza $\varrho^{-2n}$. Sin embargo, la distribución de $X_{n+1}$ condicionalmente en $X_n$ depende de la distribución completa de la $R_1$, y no sólo en el parámetro de $\varrho$.
Por ejemplo, si $R_1=\frac12$ casi seguramente, a continuación, $\varrho=\frac12$ $X_{n+1}$ condicionalmente en $X_n$ es gaussiano con media de $X_n$ y la varianza $3\cdot4^{n}$. Por otro lado, si $R=0$ o $R=1$ con igualdad de probabilidades, a continuación, $\varrho=\frac12$ pero $X_{n+1}=2X_n$ o $X_{n+1}=2^{n+1}W_{n+1}$ con igualdad de probabilidades, por lo tanto la distribución de $X_{n+1}$ condicionalmente en $X_n$ es el baricentro de un Dirac medida en $2X_n$ y de la gaussiana centrada medida de la varianza $4^{n+1}$.
Para resumir, se puede considerar $X_0=Y_0=W_0$, $X_{n+1}=X_n+2^n\sqrt{3}\cdot W_{n+1}$ y $Y_{n+1}=2Y_n$ o $Y_{n+1}=2^{n+1}W_{n+1}$ con igualdad de probabilidades, con $(W_n)_{n\geqslant0}$ i.yo.d. normal estándar. A continuación, $(X_n)_{n\geqslant0}$ $(Y_n)_{n\geqslant0}$ son dos martingales tal que, para cada $n\geqslant0$, la distribución de los $X_n$ $Y_n$ están centrados normal con varianza $4^n$, pero las distribuciones de $(X_n,X_{n+1})$ $(Y_n,Y_{n+1})$ no coinciden.
