¿Se sabe que existe una x tal que para todos los enteros positivos N existe algún n>N tal que p_{n+1} - p_n < x, donde p_n ¿es el enésimo primo? O, en otras palabras, ¿se sabe que el límite a medida que n va al infinito de p_{n+1}-p_n no es el infinito? Si se sabe que esa x existe, ¿cuál es la mejor x conocida actualmente? (mostrar que x=2 implicaría la conjetura de los primos gemelos, por supuesto)
Respuestas
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Matthew G.
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Suponiendo que este no se equivoca, la respuesta corta es ahora 70 millones.
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Espacios limitados entre primos Miércoles 15 de mayo de 2013
Este es el título de un artículo de Yitang Zhang (Universidad de New Hampshire) que demuestra que existen infinitos pares de números primos consecutivos que difieren en una distancia finita. El artículo, publicado en la página web de Annals of Mathematics, representa un avance en la resolución de la conjetura de los primos gemelos, que afirma que hay infinitos números primos que difieren en 2. El artículo de Zhang (disponible para los suscriptores) muestra que hay un número infinito de primos consecutivos que difieren en menos de 70 millones. En un artículo de New Scientist, Henry Iwaniec (Universidad de Rutgers) dice que el resultado es "hermoso". Nature también tiene un artículo sobre el resultado de Zhang. Lea el artículo de Evelyn Lamb sobre la prueba y sobre una prueba de la conjetura débil de Goldbach por Harald Helfgott (École Normale Supérieure) en "This Week in Number Theory" en el nuevo blog de la AMS en Math Blogs.
La respuesta corta es no, aunque si uno asume que la de Elliot-Halberstam conjetura entonces uno puede tomar x=16. Ver
http://arxiv.org/abs/math/0605696
para un estudio exhaustivo de los mejores resultados conocidos (tanto condicionales e incondicionales).
Existe también el artículo de la Wikipedia en
http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap
aunque esto es menos completa.
skfd
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463
El límite de mencionar que no está bien definido, pero usted puede en lugar de tomar el lim sup. Un elemental argumento muestra que no hay x que los límites superiores de primer lagunas; si no, entonces (x+2)! + 2, (x+2)! + 3, ..., (x+2)! + x+1, (x+2)! + x+2 son todos los compuestos, lo que llevaría a una contradicción.
Usted también puede preguntar "¿Cuál es el más pequeño de x tal que p {n+1} - p n < x infinitamente a menudo?," que es probablemente más cerca de lo que pretende. No creo que cualquier constante x se sabe que existe incondicionalmente, pero asumiendo un fuerte conjetura conocido como Elliott-Halberstam conjetura, Goldston, Pintz, y Yildirim han demostrado que puede tomar x = 20.
