vamos $f: [0,1] \to \mathbb R$ , $f$ es diferenciable
$f(0) = 0$
$|f'(x)|\le|f(x)|$ $x\in [0,1]$
demostrar que $f(x) =0$ $x\in [0,1]$
creo que necesito alguna manera de utilizar el valor medio teorema de forma iterativa
cualquier sugerencias?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Elija $x \in [0,1]$. Por la media-teorema del valor $$f(x) = f(x) - f(0) = f'(c)(x-0) = f'(c)x$$
para algunos $c \in (0,x)$. Pero $$|f'(c)x| \leq |f(c)||x| = |f(c) - f(0)||x| \leq |f'(d)||x||c| \leq |f'(d)||x|^2$$
para algunos $d \in (0,c)$. ¿Ves cómo recorrer este argumento?
Más consejos:
Tenga en cuenta que $f$ es continua y, por tanto, limitado en el conjunto compacto $[0,1]$, y por la hipótesis de que $|f'| \leq |f|$, $f'$ es también limitada.
Repetir lo anterior para mostrar $|f(x)| \leq M |x|^n$ para algunos absoluta constante $M$ y todos los $n$.
A la conclusión de que $f(x) = 0$ todos los $x \in [0,1)$. Para obtener el resultado en $1$, utilice la continuidad de $f(x)$, o el siguiente argumento: ahora sabes que $f(0.5) = 0$, por lo que repetir el argumento anterior, pero el centro en $0.5$ en lugar de $0$. Usted debe obtener algún enlazado $f(1) \leq M |1 - 0.5|^n$.
