Si $x,y,z\in\mathbb R\setminus \{1\}$$xyz=1$, demuestran que, a $\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\ge 1$.

Question

Si $x,y,z\in\mathbb R\setminus \{1\}$$xyz=1$, demuestran que, a $$\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\ge 1$$

Sin el uso de cálculo. Hay un par de maneras he tratado de resolver este:

$1)$ , Se podría tratar de usar la de Cauchy-Schwarz desigualdad: $$\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\ge \frac{(x+y+z)^2}{(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2}$$

Pero es evidente que nada es útil aquí.

$2)$ Podríamos usar AM-GM así: $$\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\ge 3\sqrt[3]{\frac{x^2y^2z^2}{(x-1)^2(y-1)^2(z-1)^2}}=\frac{3}{\sqrt[3]{(x-1)^2(y-1)^2(z-1)^2}}$$

Tan sólo tenemos que probar que: $$\sqrt[3]{(x-1)^2(y-1)^2(z-1)^2}\le 3$$

Podríamos elevar ambos lados a la potencia de 3: $$(x-1)^2(y-1)^2(z-1)^2\le 27$$

Pero esta desigualdad no tiene.

$3)$ Podríamos intentar la limpieza de los denominadores multiplicando ambos lados por $(x-1)^2(y-1)^2(z-1)^2$. Después de un montón de expansión y simplificando obtenemos que: $$x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2-6(xy+yz+xz)+2(x+y+z)+9\ge 0$$

Yo no puede decir tan fácilmente si la desigualdad es verdadera o no. Usted me podría ayudar en esto. Pero no hay que olvidar que el$x,y,z\in\mathbb R\setminus\{1\}$, por lo que no podemos simplemente usar AM-GM, a menos que la estamos utilizando para plazas que han de ser no negativo.

Answer 1

Otra solución:

desde $$\dfrac{x^2}{(x-1)^2}+\dfrac{y^2}{(y-1)^2}+\dfrac{z^2}{(z-1)^2}=\left(\dfrac{x}{x-1} +\dfrac{y}{y-1}+\dfrac{z}{z-1}-1\right)^2+1\ge 1$$

Answer 2

Yo creo que lo tengo:

Sustituto $z=\frac{1}{xy}$. Tome el lado izquierdo de la desigualdad y minimizar el uso de cálculo. Vamos a mostrar que incluso cuando mínimo, va a ser mayor que $1$.

Al minimizar y reducir, usted debe obtener la $-x(1-xy)^3+y(x-1)^3=0$$-y(1-xy)^3+x(y-1)^3=0$. De problemas que tenemos, $\frac{x^2}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)}{(y-1)}\frac{y^2}{(y-1)^2}$. Si $x-1$ $y-1$ son del mismo signo, a continuación, asumir WLOG $x-1>y-1$. Al sustituir de nuevo en usted obtener $\frac{x-1}{y-1}\left(1+\frac{y^2}{(y-1)^2}\right)+\left(\frac{1}{1-xy}\right)^2$, que es mayor que 1.

Lo que si $x-1$ $y-1$ no son el mismo signo, entonces $z-1$ debe ser el mismo signo que uno de los dos, así que a empezar de esa manera.

Answer 3

Prueba: El uso de Cauchy-Schwarz desigualdad,tenemos $$\left[\sum_{cyc}\left(\dfrac{a}{a-b}\right)^2\right]\left[\sum_{cyc}(a-b)^2(a-c)^2\right]\ge\left(\sum_{cyc}a^2-\sum_{cyc}ab\right)^2$$ y ya \begin{align*} \sum_{cyc}(a-b)^2(a-c)^2&=\sum_{cyc}(a-b)^2(a-c)^2+2\sum_{cyc}(a-b)(a-c)(b-c)(b-a)\\ &=\left[\sum_{cyc}(a-b)(a-c)\right]^2=\left(\sum_{cyc}a^2-\sum_{cyc}ab\right)^2 \end{align*}

Answer 4

para su última desigualdad, nota:

$(xy+yz+xz)^2=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz(x+y+z)=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2(x+y+z)$

deje $xy+yx+xz=t \ge 3 \sqrt[3]{(xyz)^2}=3$

LHS$=t^2-6t+9=(t-3)^2\ge 0 $ al $t=3$ hold "="