Hölder la Continuidad de la fracción de Movimiento Browniano

Question

Me gustaría probar el siguiente teorema:

Deje $H\in (0,1)$. La fracción de movimiento Browniano $B_H$ admite una versión cuya muestra las rutas de se $a.s.$ Hölder continua de orden estricto menos de $H$.

Para cualquier $\alpha >0$ tenemos por la auto similitud $$\mathbb{E}[|B_H(t)-B_H(s)|^{\alpha}]=\mathbb{E}[|B_H(1)|^{\alpha}]|t-s|^{\alpha H}.$$

La prueba se realiza después de aplicar el criterio de Kolmogorov que dice:

Un proceso de $(X_t)_{t\in\mathbb{R}}$ admite una continua modificación si existen constantes $a,b,k>0$ tal que $$\mathbb{E}[|X(t)-X(s)|^a]\leq k|t-s|^{1+b}$$ for all $s,t\in\mathbb{R}$.

Pero no sé cómo aplicar este criterio. Cualquier ayuda por favor.

Editar:

Bueno, tal vez debería tratar de exponer mi problema con más precisión. Me gustaría entender la prueba. Si yo uso el criterio de Kolmogorov se debe mantener $$\mathbb{E}[|B_H(t)-B_H(s)|^{\alpha}]=\mathbb{E}[|B_H(1)|^{\alpha}]|t-s|^{\alpha H}\leq k|t-s|^{1+\beta}$$ for $\alpha,\beta,k>0$, ¿verdad? No veo ninguna relación con el Hölder continuidad.

Hay nadie que pueda demostrar la prueba de entender para mí?

Tal vez debería establecer $k=\mathbb{E}[|B_H(1)|^{\alpha}]$ $\beta=\alpha H$ y decir que $B_H$ $\gamma$- Hölder continua para cada $\gamma\in\big[0,{\alpha H\over \alpha}\big)$?

Answer 1

Existe una extensión de la prueba de Kolmogorov continuidad del criterio.

Teorema 1.4. de estas notas de la conferencia por Nathanaël Berestycki establece lo siguiente:

Teorema. Deje $(X_t)_{t\in[0,1]}$ ser un valor real proceso estocástico. Supongamos que existe constantes positivas $p,c,\varepsilon$ tal que para cada una de las $s,t\in[0,1]$, $$\mathbb E\left[\left|X_t-X_s\right|^p\right]\leqslant c\left|t-s\right|^{1+\varepsilon}.$$ Entonces existe una modificación de la $\widetilde X$$X$, lo que es casi seguro $\alpha$-Hölder continua para cualquier $\alpha\in (0,\varepsilon /p)$.

Al $X=B_H$, tenemos
$$\mathbb E\left[\left|X_t-X_s\right|^p\right]=\left|t-s\right|^{pH}\mathbb E\left[\left|B_H(1)\right|^p\right],$$ por lo tanto podemos usar el teorema de con $p:=(1+R)/H$ (para una fija $R$) $c:=\mathbb E\left[\left|B_H(1)\right|^p\right]$, $\varepsilon:=pH-1=R $, que proporciona una $\alpha$-Hölder continua modificación para cada $$\alpha\lt \frac{\varepsilon}p= H\frac{R}{1+R} .$$ Como $R$ es arbitrario, podemos obtener una modificación para cualquier exponente estrictamente menor que $H$.