Asymptotics de $\sum_{k=0}^{n} {\binom n k}^a$

Question

Necesito calcular el asymptotics de

$$\sum_{k=0}^{n} {\binom n k}^a, \quad a>2, \quad a \in \mathbb{N}$$

En particular, estoy bastante interesado en $a=4$ de los casos, pero si la solución general no es muy difícil de producir y entender, prefiero general.

Podría usted por favor me ayude con cualquier método de solucionar esto?

// Añade después:

Posiblemente podríamos de alguna manera hacer uso del hecho de que la mayoría de los "pesados" los miembros de la $k$ se encuentra "cerca" $n/2\quad $ (por ejemplo, $k=n/2 \pm o(\sqrt n)$)?

Answer 1

Problema 9.18 en Concreto de las Matemáticas, 2ª edición, dice $$\sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k}^{\alpha} = 2^{2 n \alpha} (\pi n)^{(1-\alpha)/2} \alpha^{-1/2} \left(1 + O(n^{-1/2+3\epsilon})\right).$$

La derivación de la $\alpha = 1$ de los casos (que, por supuesto, ya sabemos!) es dado en detalle como el último ejemplo en el Capítulo 9. Es de tres páginas, así que no voy a tratar de reproducir aquí, pero puede ser adaptado para dar este resultado.

He aquí un resumen del argumento, aunque. Reemplace $n$ $n+k$ conseguir $\sum_k \binom{2n}{n+k}^{\alpha}$. Ahora el dominante en términos de la suma son aquellos para los valores de $k$ cerca de $0$. Dividir la suma en dos partes con un $|k| \leq n^{1/2+\epsilon}$$|k| > n^{1/2+\epsilon}$. Para la primera suma, el uso de Stirling aproximación. También tendrás tiempo necesitan para estimar el $\sum_k e^{-k^2 \alpha/n}$, que es aproximadamente de $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2 \alpha/n} dx = \sqrt{\frac{\pi n}{a}}$. La segunda suma resulta ser insignificante en comparación con la primera suma.

Answer 2

Una forma rápida de obtener el líder plazo es utilizar el hecho de que ${n \choose k}/2^n$ representa una Binomial(n,1/2), que para un gran $n$ se aproxima a una normal con $\mu=n/2$ $\sigma^2=n/4$

Por lo $$ {\binom n k} \approx 2^{n} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{(k-\mu)^2}{2 \sigma^2}\right) $$

y $$\sum_{k=0}^{n} {\binom n k}^a \approx 2^{a n} \int \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}\right)\right)^a dx = $$

$$ = 2^{an} \frac{1}{(2 \pi \sigma^2)^{a/2}} \int \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma_1^2}\right) dx$$

con $\sigma_1^2=\sigma^2/a = n/(4a)$

Así, obtenemos

$$ 2^{an} \frac{1}{(2 \pi \sigma^2)^{a/2}} (2 \pi \sigma_1^2)^{1/2} = \frac{2^{an}}{a^{1/2}} \left( \frac{\pi n}{2}\right)^{(1-a)/2} $$