Hay que entender que la noción de función, tal y como se utiliza hoy en día, es bastante reciente. Durante mucho tiempo, los analistas se contentaban con trabajar con las llamadas funciones multiformes . Por ejemplo, $\log : \mathbb C \setminus \{0\} \to \mathbb C$ era una función perfectamente adecuada para trabajar, aunque había que tener cuidado : si el argumento de esta "función" da una vuelta alrededor de 0, la imagen de $\log$ cambios (algo así como $2i\pi$ se añade).
Una de las grandes cosas que hizo Riemann es darse cuenta de que esto crea una función verdadera ("uniforme") sobre algo ligeramente más complicado. En lenguaje moderno, existe una superficie de Riemann $X$ una función $p : X \to \mathbb C \setminus \{0\}$ (en realidad, $X = \mathbb C$ y $p=\exp$ pero permítanme que lo olvide) y una función verdadera $f : X \to \mathbb C$ de forma que los distintos "valores" de $\log(z)$ son sólo los $f(\tilde z)$ para $\tilde z \in p^{-1}\{z\}$ . Y el hecho de que el "valor" de $\log$ cambia cuando haces un giro alrededor de 0 es sólo el hecho de que tu bucle alrededor de 0 es la imagen de ningún bucle en $X$ : cuando intentas levantar ese bucle a $X$ se obtiene un camino no cerrado. La diferencia de valor para $\log$ (la "monodromía") no es más que la consecuencia de la topología de $X$ . (Por supuesto, eso lleva rápidamente a los espacios de cobertura, etc.) De alguna manera, el principal cambio de enfoque está aquí: para entender las funciones, hay que entender las superficies de Riemann.
Ahora bien, ¿para qué tipo de funciones quieres jugar a ese juego? Si no recuerdo mal, Riemann cita el ejemplo del logaritmo en su artículo, pero le interesan sobre todo las funciones (inversas de) algebraicas, que dan lugar a superficies de Riemann compactas y coberturas (ramificadas) finitas sobre la esfera de Riemann. Uno de sus objetivos era comprender elíptica y Abeliano integrales, funciones cada vez más importantes en física, análisis y teoría de números...
Una fuente posterior de ejemplos fue la teoría de las ecuaciones diferenciales. Ahora tendemos a verlas desde un punto de vista real (es decir, con un tiempo real $t \in \mathbb R$ ), pero el punto de vista complejo solía ser más importante. Las ecuaciones diferenciales, aunque sean lineales y de orden dos, también definen "funciones multiformes" que conviene comprender mejor. Esta fue, por ejemplo, la principal motivación de Poincaré, cuyos trabajos (en ese tema) culminaron con el teorema de uniformización . (Nota: "uniformización", porque lo que se quiere son funciones uniformes).
Por supuesto, todo lo que digo está muy simplificado. Para empezar, cada palabra aquí es un anacronismo, porque gran parte del análisis complejo, la geometría algebraica e incluso la topología de superficies se desarrollaron precisamente durante el periodo comprendido entre 1851 (primer artículo de Riemann) y 1907 (primeras demostraciones convincentes del teorema de uniformización de Poincaré y Koebe). Pero no cabe duda de que una gran parte de la segunda mitad del siglo XIX matemático giró en torno a tales nociones...
Si desea leer más al respecto, la obra de McKean y Moll Curvas elípticas es un libro estupendo para entender la relación entre esas integrales elípticas de aspecto inocente y esa teoría de las superficies de Riemann que de algún modo resulta temible. Y si lee francés, hay dos libros histórico-matemáticos relevantes: Dieudonné Curso de geometría algebraica (primer volumen) y Saint-Gervais Uniformidad de las superficies de Riemann . Normalmente, existe una versión en pdf de este último en algún lugar de Internet, pero me temo que necesitará una buena biblioteca para encontrar el primero. (¿Cómo es posible que un libro tan maravilloso no se reedite?)
