Deje $A$ ser un sub-anillo de un campo de $K$, y supongamos que $A$ es un anillo local con ideal maximal $\mathfrak{m}$. Deje $x \in K, \, x \neq 0$. Deje $\phi: A \rightarrow L$ ser un homomorphism de $A$ en el algebraicamente cerrado campo de $L$ con kernel $\mathfrak{m}$. Supongamos que $\mathfrak{m} A[x] \neq A[x]$. A continuación, $\mathfrak{m} A[x]$ está contenido en un ideal maximal $\mathfrak{P}$$A[x]$$\mathfrak{P} \cap A = \mathfrak{m}$. Ahora, existe una incrustación $\psi : A/ \mathfrak{m} \rightarrow L$ tal que $A \rightarrow A/ \mathfrak{m} \stackrel{\psi}{\rightarrow} L$ es igual a $\phi$. Supongamos que el . Según Lang Álgebra p. 348, podemos extender $\psi$ $A[x]/ \mathfrak{P}$si la imagen de $x$ $A[x]/ \mathfrak{P}$ es trascendental $A/ \mathfrak{m}$ o no, pero no puedo ver por qué esto es posible. Cualquier conocimiento?
Gracias
Editado:
Relacionado con la cuestión es la observación de que, de acuerdo a la prueba del Teorema 5.21 en Atiyah y Mcdonald's "Introducción al Álgebra Conmutativa", donde siguen una estructura similar, se menciona que la imagen de $x$ $A[x]/ \mathfrak{P}$ es algebraico sobre $A/ \mathfrak{m}$ (notación es diferente). Pero no puedo ver por qué este es el caso.
