Con frecuencia se declaró que el mecanismo de Higgs implica la ruptura espontánea de la simetría gauge. Esta es, sin embargo, completamente equivocado. De hecho, calibre simetrías no puede ser espontáneamente rota.
Un estándar de argumento para esto es que el medidor de simetrías no son reales simetrías, son un
la reflexión de una redundancia en nuestra descripción del sistema; dos miembros relacionados por
un medidor de transformación de la realidad son el mismo estado físico. Por lo tanto, un indicador
la simetría es físicamente un "no hacer nada" transformación y por lo tanto no
sentido que sea
espontáneamente rota.
Este argumento parece como un poco de un "cop-out", aunque-yo sólo podía declarar
cualquier simetría a ser un `no hacer nada" transformación de fiat, si yo quería.
Una explicación más satisfactoria es: incluso si interpretamos
medidor de simetrías como real simetrías, que nunca puede ser roto espontáneamente.
Este resultado se conoce como Elitzur del teorema, y es muy fácil
entender por qué debe ser verdadera. Vamos a centrarnos en los sistemas térmicos
-- sistemas cuánticos en cero mapa de temperatura en la clásica de sistemas térmicos en
una mayor dimensión de espacio por lo que el argumento debe llevar encima.
En primer lugar recordar la
mano saludando argumento de por qué la ruptura espontánea de simetría puede tener lugar en,
decir, el 2-D del modelo de Ising a temperatura finita. El 2-D del modelo de Ising tiene dos ruptura de la simetría de tierra de los estados: todos
$\uparrow$ y todos los $\downarrow$. Pero, si quiero conseguir entre ellos por las autoridades locales
las fluctuaciones térmicas entonces tengo que crear un dominio y crecer hasta que
abarca todo el sistema, lo que implica una amplia penalización energética debido a
el coste de energía del dominio de la pared. Así, a bajas temperaturas transiciones
entre los dos estados fundamentales son exponencialmente suprimida en el tamaño del sistema
y así, el sistema se queda atascado en todos los $\uparrow$ o todos los $\downarrow$, por lo que
la simetría es espontáneamente rota. (El mismo argumento muestra por qué la
1-D del modelo de Ising no puede haber ruptura espontánea de simetría en el finito
la temperatura, debido a que no hay un extenso energía pena para llegar desde todos los
$\uparrow$ todos los $\downarrow$.)
Por otro lado, desde un medidor, la simetría es un local de simetría, esto
el argumento se rompe. Cualquiera de los dos ruptura de la simetría de tierra de los estados están relacionados por una
secuencia de local medidor de transformaciones, que (ya que conmuta con el
Hamiltoniana) tienen exactamente el cero de la energía de la pena. Por lo tanto, no hay ninguna barrera de energía
entre los diferentes estados, y el sistema va a explorar todo el espacio de
terreno estados, así que no hay ruptura de la simetría. Hemos expresado aquí todo en términos
clásicos de los sistemas térmicos, pero será importante para más tarde que la versión cuántica de no
ruptura de la simetría es que el Hamiltoniano debe tener un único estado del suelo
(al menos con las condiciones de contorno adecuadas), porque degenerados suelo
los estados pueden siempre pareja el uno al otro a través de las fluctuaciones cuánticas para crear un
estado de superposición con menor energía.
Así que ahora que hemos establecido que el mecanismo de Higgs no, y no,
corresponden a la ruptura espontánea de simetría, echemos un vistazo a lo que realmente
sucediendo. Por simplicidad, vamos a ver el caso más simple, a saber, (quantum, $T = 0$)
$\mathbb{Z}_2$ gauge de la teoría. Este consta de dos dimensiones de los sistemas cuánticos en
todos los vértices y los enlaces de una plaza de celosía. Los que están en los vértices
constituyen el "asunto de campo" y los que están en los enlaces que constituyen el "calibre
campo". Denotamos las matrices de Pauli en los enlaces por $\sigma_{ab}^x$, etc. y en
los vértices $\tau_{a}^x$, etc.
El Hamiltoniano es
$$
H = -g \sum_{\langle a, b\rangle} \sigma^x_{ab} - \frac{1}{g} \sum_{\square}
\sigma^z \sigma^z \sigma^z \sigma^z - \lambda \sum_{un} \tau^x_a -
\frac{1}{\lambda} \sum_{\langle a, b \rangle} \tau_a^z \sigma^z_{ab} \tau_b^z
$$
[el segundo término es la suma de cuatro-cuerpo $\sigma^z$ de las interacciones en las plazas de la red ("plaquetas"), y $\langle a, b \rangle$ significa una suma de más de vecino más cercano, los pares de vértices.]
Este Hamiltoniano tiene un medidor de simetría $\tau^x_a \prod_{\langle a, b \rangle}
\sigma^x_b$ for each vertex $$.
Uno puede trazar el diagrama de fases de este Hamiltoniano en detalle, pero aquí estamos
le quiero centrarme en el "Higgs" de fase, que ocurre cuando la $g$ y
$\lambda$ son pequeñas, de modo que el segundo y el cuarto mandato de dominar. Vamos a tomar
el límite de $g \to 0$, afirmando sin pruebas de que el $g$ pequeños, pero no
cero caso es cualitativamente similar. En este límite, el estado debe ser un
$+1$ eigenstate del producto de $\sigma^z$
alrededor de cada plaquette ("no flujo" de la condición). Si el modelo está definido en un espacio sin
no contráctiles de bucles, esto implica que podemos escribir, para cada `no flujo"
configuración, $\sigma^z_{ab} = \widetilde{\sigma}^z_a \widetilde{\sigma}^z_b$
para algunos la elección de $\{ \widetilde{\sigma}^z_a \} = \pm 1$.
Por lo tanto, todos los "no-flujo", se pueden realizar configuraciones para satisfacer $\sigma^z_{ab} = 1$
por un calibre adecuado de transformación. Por lo tanto, en virtud de este calibre-la fijación de la condición, el Hamiltoniano se reduce a la
transversal de campo de quantum modelo de Ising en el asunto de los campos:
\begin{equation}
H_{gf} = -\lambda \sum_{a} \tau^x_a - \frac{1}{\lambda} \sum_{\langle a,b \rangle} \tau_a^z \tau_b^z
\end{equation}
que sabemos que va a haber una ruptura de la simetría de fase (es decir, un dos-veces degenerados
el estado del suelo) para las pequeñas $\lambda$. Este es
la fase de Higgs.
P: Pero espera, ahora, no Elitzur del teorema de decir que simetrías gauge no puede ser
espontáneamente rota?
R: Bueno, en realidad en la fijación del indicador que hemos utilizado hasta el local
parte de la galga de la simetría, y por encima de Hamilton $H_{gf}$ sólo tiene un
$\mathbb{Z}_2$ global de simetría. Por lo tanto, no viola
Elitzur del teorema de tener ruptura espontánea de simetría.
P: ¿Pero qué acerca de la original de Hamilton, $H$? Había un
medidor de simetría, y es equivalente a el nuevo Hamiltoniano $H_{gf}$, lo que ha
espontánea ruptura de la simetría, por lo que el original de Hamilton debe tener
espontánea ruptura de la simetría?
R: Usted tiene que ser muy cuidadoso sobre el sentido en que $H$ $H_{gf}$
equivalente, porque el "indicador de fijación de transformación que relaciona
no es unitaria (ya que es de muchos a uno). Aún así, si uno piensa lo suficientemente duro y
utiliza el hecho de que $H$ es invariante en el indicador de simetría,
no es difícil mostrar que existe una correspondencia entre los autoestados de $H$
y de $H_{gf}$. Sin embargo, debido a que los dos degenerados de tierra de los estados de $H_{gf}$
relacionados por un medidor de transformación, que en realidad corresponden a un solo
terreno único estado de $H$, de acuerdo con Elitzur del teorema. Este singular
el estado del suelo $|\Psi\rangle_H$ $H$ se pueden encontrar en términos de la tierra estados $|\Psi\rangle_{H_{gf}}$ $H_{gf}$ por
symmetrizing ellos para que se gauge invariantes, es decir,
\begin{equation}
|\Psi\rangle_H = \sum_{\mathcal{G}} \mathcal{G} |\Psi\rangle_{H_{gf}},
\end{equation}
donde la suma es sobre todos los posibles transformaciones gauge $\mathcal{G}$ (desde
los dos degenerados de tierra de los estados están relacionados por un indicador de la transformación, esto
da el mismo $|\Psi\rangle_H$, independientemente de que uno elige ser
$|\Psi\rangle_{H_{gf}}$.)
Así que en resumen, el mecanismo de Higgs aparece a parecerse a la ruptura espontánea de simetría en una elección particular de la galga, pero esto es una ilusión. El verdadero estado es único y el indicador de invariantes.
