Encontrar todas las funciones que satisfacen $\frac{1}{f(a)}+ \frac{1}{f(b)} = \frac{1}{f(c)} $ siempre que $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b} = \frac{1}{c} $

Question

Encontrar todas las funciones $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ satisfaciendo $\frac{1}{f(a)}+ \frac{1}{f(b)} = \frac{1}{f(c)} $ siempre que $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b} = \frac{1}{c} \ a,b,c \in \mathbb{N} $

Después de hablarlo con un amigo, creen que hay una solución sencilla de sólo un par de líneas, pero todavía no he descubierto el método. ¿Alguna idea?

Answer 1

Pista: Intenta demostrar que $f(ab) = af(b)$ para todos $a,b\in\mathbb{N}$ . Esto puede hacerse mediante la inducción en $a$ : Supongamos que $f(kb) = kf(b)$ para todos $b\in\mathbb{N}$ y $k = 1,\dots,a-1$ y observe que $$\frac{1}{ab} + \frac{1}{(a-1)\times ab} = \frac{1}{(a-1)\times b}. $$ ¿Puede proceder desde aquí?

Answer 2

Sugerencia: primer arreglo $c=1$ si tenemos $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$ entonces $b+a=ab$ implica $f(b)+f(a)=\frac{f(a)f(b)}{f(1)}$ Esto obliga a la función $f: N \to N$ se comporte de manera predecible (pero no en todas partes, ¡sólo en ciertos pares de puntos!) Pero ahora si dejamos que $c$ ¿variar?