Tengo poco de intuición acerca de la proyectiva de la jerarquía, y esto es probablemente demasiado simple-mente para acercarse a una fuerte estimación, pero para lo que vale: el fácil argumento muestra que el conjunto de $S$ de surjective funciones continuas es peor, un $\boldsymbol{\Pi}_{2}^1$-set. No tengo idea de si $S$ es Borel o no.
El punto es que podemos describir de $S$ mediante la cuantificación de dos veces sobre un espacio polaco: para todos los $y \in Y$ existe $x \in X$ tal que $f(x) = y$ o, de manera equivalente, $(f,x,y) \in F$ donde $F$ es el cerradoconjunto
$$
F = \{(f,x,y) \in C(X,Y) \times X \times Y\,:\,f(x) = y\}
\subconjunto de C(X,Y) \times X \times Y.
$$
El conjunto $F$ está cerrada debido a la
el mapa de $\operatorname{ev}\colon C(X,Y)\times X \to Y$ $\mathrm{ev}(f,x) = f(x)$ es continua debido a $X$ es localmente compacto, y $F$ es la pre-imagen de la diagonal de a $Y \times Y$ bajo $\mathrm{ev} \times \mathrm{id}_Y \colon C(X,Y) \times X \times Y \to Y \times Y$.
La proyección de $F$ $C(X,Y) \times Y$ (cuantificación existencial sobre $X$) nos da el $\boldsymbol{\Sigma}_{1}^1$-set (aka analítica conjunto)
$$
A = \{(f,y) \in C(X,Y) \times Y\,:\,(\exists x \in X)\;f(x) = y\} \in \boldsymbol{\Sigma}_{1}^1.
$$
Ahora $\boldsymbol{\Sigma}_{1}^1 \subset \boldsymbol{\Pi}_{2}^1$ y la clase de punto de $\boldsymbol{\Pi}_{2}^1$ es estable bajo cuantificación universal a través de una polaco espacio (aquí $Y$) — ver Kechris, Clásica Descriptivo de la Teoría de conjuntos, el Teorema de 37.1 en la página 314 , pero este es precisamente el conjunto estamos interesados en:
$$
\begin{align*}
S &= \{f \in C(X,Y)\,:\,(\forall y \in Y)\;(f,y) \in A\} \\ & = \{f \in C(X,Y)\,:\,(\forall y \in Y)\,(\exists x \in X)\;(f,x,y) \in F\} \\
\end{align*}
$$
hemos demostrado que $S \in \boldsymbol{\Pi}_{2}^1$.
