Hueso de perro de contorno integral/cortes de ramas/de los residuos en el infinito

Question

Estoy tratando de calcular:

$$\int_0^1 \frac{\sqrt{x-x^2}}{x+2} dx$$

por el contorno de la integración. Yo defino $f(z) = \sqrt{z-z^2}$ con una rama cortada en $[0,1]$ de tal manera que $f(-1)=\sqrt{2}i$, a continuación, defina $g(z)=\frac{f(z)}{z+2}$. Entonces me integrar $g$ de las agujas del reloj alrededor de un hueso de perro contorno de 0 a 1. Los dos arcos de las contribuciones de ir a cero como la radio llega a cero, simplemente porque el integrando es acotado si $z$ está lejos de $-2$. La elección de la rama de corte significa que el integrando es de signo opuesto en los dos lados de la rama de corte. Esto, combinado con la diferente orientación (en la parte superior de la integral que se recorre a la derecha, abajo a la izquierda) significa que la parte superior e inferior de las integrales son iguales, iguales en el límite para el valor que se desee. En consecuencia:

$$2 \int_0^1 \frac{\sqrt{x-x^2}}{x+2} dx = 2 \pi i ( Res(g,-2) + Res(g,\infty) )$$

por el exterior de dominio teorema de los residuos. La primera es por la normativa de residuos de cálculo $f(-2)=\sqrt{6}i$, de cómo $f$ está definido. Esto está muy bien, (resulta que la forma en que se debe).

Mi problema es con $Res(g,\infty)$. La definición de esta es $Res \left (-\frac{g(1/z)}{z^2},0 \right )$. Así que esto es $Res \left (-\frac{f(1/z)}{z^2(1/z+2)},0 \right )$. Mi única idea para hacer este cálculo fue para tratar de romper $f(1/z)$ usando la rama de corte y en última instancia binomio ampliar la raíz cuadrada. Hacer esto te da la respuesta correcta, es decir,$-5/2i$, siempre que $(-1)^{1/2}=i$ en el binomio de expansión de la fórmula. Supongo que esto viene del hecho de que la expansión binomial tiene para el director de la raíz cuadrada, pero no estoy seguro. Total de conectar estas de vuelta en da

$$\int_0^1 \frac{\sqrt{x-x^2}}{x+2} dx = \pi (5/2 - \sqrt{6})$$

lo cual es correcto. Pero existe una mejor manera de pensar acerca de esto?

Answer 1

$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ $\ds{\int_{0}^{1}{\root{x - x^{2}} \over x + 2}\,\dd x:\ {\large ?}}$

${\large\tt\mbox{Following my own above comment:}}$

\begin{align} &\color{#c00000}{\int_{0}^{1}{\root{x - x^{2}} \over x + 2}\,\dd x} =\int_{\infty}^{1} {\root{1/x - 1/x^{2}} \over 1/x + 2}\,\pars{-\,{\dd x \over x^{2}}} =\int_{1}^{\infty} {\root{x - 1} \over 1 + 2x}\,{\dd x \over x^{2}} \\[3mm]&=\half\int_{0}^{\infty} {\root{x} \over \pars{x + 3/2}\pars{x + 1}^{2}}\,\dd x \\[3mm]&=\half\braces{2\pi\ic\bracks{ \overbrace{{\root{3/2}\expo{\ic\pi/2} \over \pars{-3/2 + 1}^{2}}} ^{\ds{=\ 2\root{6}\ic}}\ +\ \overbrace{\lim_{z \to \expo{\ic\pi}}\totald{}{z}\pars{\root{z} \over z + 3/2}} ^{\ds{=\ -5\ic}}}} -\half\int_{\infty}^{0} {\root{x}\expo{\ic\pi} \over \pars{x + 3/2}\pars{x + 1}^{2}}\,\dd x \end{align}

$$\color{#44f}{\large \int_{0}^{1}{\raíz{x - x^{2}} \over x + 2}\,\dd x =\media\pars{5 - 2\raíz{6}}\pi} \approx 0.1587 $$