Prueba de que $n+k+3$ divide $n(n+1)(n+2)(n+3) - k(k+1)(k+2)(k+3)$ .

Question

Estoy buscando pruebas de que $$ (n+k+3) \mid n(n+1)(n+2)(n+3) - k(k+1)(k+2)(k+3)\\ n,k \in \mathbb N^*, n>k $$ He intentado utilizar la inducción, pero no estoy seguro de cómo funcionaría con 2 parámetros.

Answer 1

$$n(n+1)(n+2)(n+3)\equiv (-k-3)(-k-2)(-k-1)(-k)$$

$$\equiv (-1)^4(k+3)(k+2)(k+1)k\equiv k(k+1)(k+2)(k+3)\pmod{n+k+3}$$

Es cierto para todos los enteros $n,k$ sin restricciones.

Answer 2

Desde $$n+3=n+k+3-k\qquad \text{and}\qquad k+3=n+k+3-n$$ tenemos \begin {alinear} n(n+1)(n+2)(n+3)&=n(n+1)(n+2)(n+k+3)-n(n+1)(n+2)k \\ k(k+1)(k+2)(k+3)&=k(k+1)(k+2)(n+k+3)-k(k+1)(k+2)n \end {align} Entonces bastará con demostrar que $n+k+3$ divide $k(k+1)(k+2)n-n(n+1)(n+2)k$

Pero \begin {align} k(k+1)(k+2)n-n(n+1)(n+2)k&=nk(k^2+3k-n^2-3n) \\ &=nk \left [-(n-k)(n+k)-3(n-k) \right ] \\ &=-nk(n-k)(n+k+3) \end {align}

Lo que completa la prueba.

Answer 3

Si $P$ es un polinomio con coeficientes enteros, entonces $$a-b \mid P(a)-P(b)$$ para los enteros $a$ y $b$ . La conclusión deseada se obtiene aplicando esto con $a=n$ , $b=-k-3$ y $$P(x) = x(x+1)(x+2)(x+3).$$ De hecho, tenemos $P(n)=n(n+1)(n+2)(n+3)$ y $P(-k-3) = (-k-3)(-k-2)(-k-1)(-k) = k(k+1)(k+2)(k+3)$ .