Diagonal de la doble secuencia $(n+1)v_{h,n+1}-(2h+1)v_{h,n}-nv_{h,n-1}=0$

Question

Actualización: no es posible responder a esta pregunta sin información adicional.

Mi comentario de abajo: "estoy de acuerdo con usted de que uno "no se puede derivar (2) de (1) por sí sola". Ahora me parece que uno debe tener en cuenta cómo las secuencias de $v_{h,n}^{\prime }$ $v_{h,n}$ son construidos. Que se describe en la primera parte del documento, pero por desgracia no es fácil para mí, para resumir. Como yo lo entiendo Apéry transformado repeatidely persistencia de una fracción cuyo approximants se $\dfrac{u_{h,n}^{\prime }}{u_{h,n}}$, la iteración en $h$. Las secuencias anteriores se $v_{h,n}^{\prime }=\dfrac{u_{h,n}^{\prime }}{h!n!}, v_{h,n}=\dfrac{u_{h,n}}{h!n!}$."

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En Irrationalité de Las Constantes, Bull. sección des sciences du C. T. H. S., n.º3, p.37-53, Roger Apéry deriva aproximaciones racionales $\dfrac{v_{h,n}^{\prime }}{v_{h,n}}$$\ln (1+t)$, $\zeta (2)$ $\zeta (3)$ , la más simple es la de la $\ln $. El las secuencias de $v_{h,n}^{\prime }$$v_{h,n}$, cuya relación converge a $\ln (2)$, satisfacen la relación recursiva

$$(n+1)v_{h,n+1}-(2h+1)v_{h,n}-nv_{h,n-1}=0.\qquad (1)$$

La diagonal secuencias de $w_{n}^{\prime }=v_{n,n}^{\prime },w_{n}=v_{n,n}$ satisfacer

$$(n+1)w_{n+1}-3\left( 2n+1\right) w_{n}-nw_{n-1}=0.\qquad (2)$$

Observaciones:

1. Las condiciones iniciales de $v_{h,n}^{\prime }$, $v_{h,n}$, $w_{n}^{\prime }$, $w_{n}$ no se indica en el documento.

2. Las recurrencias $(1)$ $(2)$ son el caso particular de $t=1$, respectivamente,

$$(n+1)v_{h,n+1}-\left( \left( n+1\right) -nt+h\left( 1+t\right) \right) v_{h,n}-ntv_{h,n-1}=0\qquad (\ast)$$

(para simplificar la notación, el índice de $h$ fue eliminado en el original) y

$$(n+1)w_{n+1}-\left( 2n+1\right) \left( 2+t\right) w_{n}-nt^{2}w_{n-1}=0.\qquad (\ast\ast)$$

Pregunta: ¿Cómo se derivan $(2)$$(1)$?

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Copia de dicho documento

Answer 1

Espero que no sea mal entendido su pregunta; por favor me corrija si estoy.

Creo que la respuesta debe ser que no se puede derivar (2) de (1) por sí sola. Para cada una de las $h$, (1) es independiente de la recurrencia de la relación vincular sólo los valores con el mismo $h$. Si se supone que solo (1), usted puede elegir libremente los dos valores iniciales $v_{h,0}$ $v_{h,1}$ y utilizarlos para generar un vector bidimensional en el espacio de secuencias (fijo $h$) que pueden tomar cualquier valor para un determinado $n$. Pero (2) contiene sólo los miembros para diferentes valores de $h$, de modo que cada uno de los miembros que ocurre en (2) por separado puede ser elegido arbitrariamente por la elección de adecuados valores iniciales de su valor de $h$. Pero no puede haber una relación lineal entre tres cantidades que pueden ser de forma independiente para tomar un valor arbitrario.

(Es posible que para algunos valores de $h$ $n$ (1) las fuerzas de $v_{h,n}$ a cero, pero que sólo podría implicar (2) si este fuera el caso en toda la diagonal, es decir, si la diagonal de la secuencia en realidad eran de cero (si es distinto de cero en algún lugar, siempre podemos tomar un múltiplo de la secuencia para que el $h$ y por lo tanto molestar (2), pero no (1).)