¿Cuál es la motivación para que los cuaterniones?

Question

Sé que los números imaginarios resolver $x^2 +1=0$, pero ¿cuál es la motivación para que los cuaterniones?

Answer 1

Hamilton (y Graves) quería generalizar $\mathbb C$ - si se la ve como $\mathbb R^2$, con una multiplicación que lo convierte en un campo con un multiplicativo de valor absoluto. Estaban buscando algo similar en $\mathbb{R}^n$ para $n>2$. Resulta que Hamilton pasó 13 años en vano con $n=3$, aunque básicamente era conocido desde Diophantus que lo que estaba buscando era imposible. Él finalmente descubrió que podía tener éxito para $n=4$ si él dio conmutatividad.

(Este es un breve resumen del capítulo 20 de Stillwell maravilloso "las Matemáticas y Su Historia".)

Answer 2

Con los números complejos en la mano, es natural preguntarse qué otros sistemas de números que contienen los números reales que uno podría tener. Antes de la construcción de los cuaterniones, Hamilton intentó en vano para la construcción de un $3$-dimensiones del sistema; resulta que esto es imposible, y usted puede ver una reproducción de la ciudad de Hamilton propia prueba en esta última pregunta: ¿por Qué debería considerar los componentes de $j^2$ y $k^2$ $=-1$ en la búsqueda de cuaterniones?

De hecho, si usted requiere que su "sistema de numeración" ser una división de álgebra, resulta que hay sólo cuatro de estos sistemas: los números reales, los números complejos, los cuaterniones, y el octonions, así que cada uno de estos es bastante especial. Juan Báez " de papel "La Octonions" es un excelente punto de partida para la exploración de este círculo de ideas.

(NOTA: hay un montón de interesantes "número de sistemas que contienen los números reales", es decir, finito-dimensional álgebras de más de $\mathbb{R}$; en otras palabras, la división de álgebras no son la única cosa interesante que podemos pedir.)

Answer 3

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ ¿Cuál es la motivación para que los cuaterniones?

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Hamilton sabía que los números complejos se podría interpretar como puntos en un plano, y él estaba buscando una manera de hacer lo mismo para los puntos en el espacio tridimensional. Sin embargo, $[$$]$ había sido atrapado en el problema de la multiplicación y la división por un largo tiempo. Él no podía entender cómo se calcula el cociente de las coordenadas de dos puntos en el espacio.

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ — Cuaterniones: Historia

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$\quad$ En $1843$, Hamilton sabía que los números complejos pueden ser vistas como puntos en un plano y que podrían ser sumados y multiplicados juntos el uso de ciertas operaciones geométricas. $~$ Hamilton trató de encontrar una manera de hacer lo mismo para los puntos en el espacio. Pero $[$$]$ se había atascado en la definición de la correspondiente multiplicación. De acuerdo a una carta en la que Hamilton escribió más tarde a su hijo Archibald:

$\quad$ Cada mañana en la primera parte de octubre $1843$, en mi venida a desayunar, su hermano William Edward y tú mismo me preguntaba: "Bueno, Papá, ¿puedes multiplicar triples?" A donde siempre estaba obligado a responder, con un triste sacudida de la cabeza, "No, yo solo sumar y restar".

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$ — Historia de Cuaterniones: Hamilton y el Descubrimiento de

Answer 4

Dos aplicaciones importantes que se vienen a la mente:

1. Que modelo de rotación de la esfera, como el de los números complejos modelo de rotaciones del círculo.

2. Usted puede obtener el teorema de los cuatro cuadrados, que cada entero $n$, puede ser representado como $n=a^2+b^2+c^2+d^2$ para algunos enteros $a,b,c,d \geq 0$, el uso único de la factorización como las propiedades de los cuaterniones. Esto tiene que ver con el pensamiento de la norma de una cuádrupla $N(a+bi+cj+dk):= (a+bi+cj+dk)(a-bi-cj-dk) = a^2+b^2+c^2+d^2$.

   Del mismo modo, se puede demostrar que en cualquier anillo conmutativo $R$, si $a$ y $b$ son cada uno la suma de cuatro cuadrados, $ab$ es la suma de cuatro plazas, el uso de una expresión algebraica de la identidad que en realidad no involucrar a los cuaterniones, pero es completamente absurdo para descubrir excepto demostrando que para cuaterniones $N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta)$.

En resumen, que tienen dos importantes geométricas y las propiedades algebraicas, en particular en la intersección.

Answer 5

Un moderno motivación es el modelo 3D de la orientación y de la rotación en los gráficos por ordenador. Si utiliza el modelo simple de los ángulos de Euler, se puede ejecutar en un problema: gimbal lock. Cuaterniones (y rotación de matrices) evitar esto.