Autovector del polinomio

Question

Supongamos que $T: V \rightarrow V$ es un endomorfismo del espacio lineal V (sobre $\mathbb{K}$) y que $p(X)$ es un polinomio con coeficientes en $\mathbb{K}$. Mostrar que si $x$ es un autovector de a $T$ que también es un autovector de a $p(T)$.

Mi intento:

Así que si $x$ es un autovector de a $T$ lo que significa que $T(x) = \lambda x$ ($\lambda$ siendo el autovalor asociado a $x$).

Ok, así que mi siguiente paso es el que yo sienta que no es correcto

$p (T(x)) = p (\lambda x)$ $\lambda$ es un autovalor del polinomio.

Yo no siento que esto es una suposición correcta, que no se puede de inmediato a la conclusión de esto, podemos?

Answer 1

Con respecto a su intento:
Tenga en cuenta que las expresiones $p(Tx)$ $p(\lambda x)$ no tienen sentido. De hecho, salvo algún caso muy especial, al mejor de mi conocimiento, si $p$ es un polinomio $v$ es un vector, entonces $p(v)$ no está bien definida.

En cuanto al ejercicio:
Deje $x\neq 0$$Tx = \lambda x$, $$T^kx = T(T^{k-1})x=T(\lambda^{k-1}x)=\lambda^{k-1}Tx = \lambda^kx \qquad \forall k\in\Bbb N.$$

Deje $p(s)=\sum_{k=0}^d \alpha_k s^k$, luego $$p(T)x = \sum_{k=0}^d \alpha_kT^kx=\sum_{k=0}^d\alpha_k\lambda^kx=\Big(\sum_{k=0}^d\alpha_k\lambda^k\Big)x=p(\lambda)x.$$

Answer 2

Añadir un poco de generalidad a @Surb 's excelente aceptado respuesta.

Este ejercicio es sólo un esbozo de una técnica importante en el álgebra lineal. Al $P$ es un polinomio con coeficientes en $\mathbb{K}$ $T$ es un endomorfismo, a continuación, $P(T)$ también es un endomorfismo cuyas propiedades están estrechamente relacionados con los de $T$. Al $\mathbb{K}$ $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, entonces usted puede a menudo dar sentido a $P(T)$ al $P$ es convergente de alimentación de la serie. Que permite definir útil endomorphisms como $$ e^T \quad \text{y} \quad \frac{1}{1-T}\ . $$

Answer 3

Aquí es un esquema.

Paso 1: Probar por inducción que si $Tx=\lambda x$,$T^n(x)=\lambda^n x$.

Paso 2: Mostrar que si $Tx=\lambda x$$Sx=\mu(x)$,$(T+S)(x)=(\lambda+\mu)x$.

Paso 3: se Combinan los dos primeros pasos para demostrar que si $Tx=\lambda x$, $P(T)(x)=P(\lambda)x.$