¿Por qué primero introducimos el conjunto abierto de la definición de continuidad en lugar de el barrio de la definición?

Question

Después de (casi) completar mi curso en la topología, algo raro justo pegado a mí que yo no había considerado antes. Cuando la primera discusión de la continuidad, a menudo utilizamos la siguiente definición:

Deje $X$ $Y$ ser espacios topológicos. Decimos que $f:X\to Y$ es continua si para cada conjunto abierto $V\in Y$, $f^{-1}(V)$ está abierto en $X$.

Este es un lugar opaco definición y no es tan fácilmente relacionable a la noción que se desarrollan en $\Bbb R$ como la siguiente definición:

Deje $X$ $Y$ ser espacios topológicos. Decimos que $f:X\to Y$ es continua si para cada una de las $x\in X$ y el vecindario $V$ contiene $f(x)$, hay un barrio $U$ $x$ tal que $f(U)\subseteq V$.

Estos son, por supuesto, definiciones equivalentes. Sin embargo esto último es bastante fácil de conectar a nuestra intuición construye a partir del análisis real: si nuestra $x$-los valores son "cerca de", entonces nuestra $y$-los valores deben ser "cerrar". Pedagógicamente, ¿por qué tenemos algo desechado la última definición como una mera equivalencia y optó por el ex? Claramente esto último es lo que llevó a la anterior y es, sin duda, más fácil de agarrar. Es un poco de un subproducto de la categoría de la teoría de la naturaleza de la antigua (con $f$ siendo una de morfismos de espacios topológicos) y matemáticas de la tendencia general hacia la categoría de la teoría de la personificación? Puede también atribuirse a principios de topologists quieren separarse de la topología de análisis en este camino?

Answer 1

Ya se puede ver que la versión que implican los barrios es más complicado que el de la versión que implican abrir sets. En general, me encuentro probando cosas mucho más fácil en términos de bloques abiertos, y los barrios son principalmente para hacer las cosas que se parecen a los cálculos.

Un punto importante es que la topología es más claramente expresada en términos de bloques abiertos. Cuando usted habla acerca de la topología a través de una base de abiertos de los barrios, que se oscurece lo que el espacio topológico es en realidad. Si me topologize el plano donde mis barrios son los interiores de las plazas, es que un espacio topológico que si puedo tomar el abierto de discos como los barrios?

Así, si se define la noción de espacio topológico en términos de bloques abiertos, luego se tiene que (al menos) dos opciones acerca de cómo introducir funciones continuas:

• Introducir en ellos en términos de los conjuntos abiertos
• Introducir la noción de una base para la topología, a continuación, definir la continuidad en términos de una base

Yo creo que la segunda opción sería ocultar cosas más. Usted no sólo retrasar la introducción de la noción de continuidad, pero la definición es también descansa en ideas más complejas.

Answer 2

Creo que es una lástima que la definición de una función continua no es más intuitivo. Muchos de los estudiantes tienen difícil comprender la topología aunque no debería ser así, y de un enfoque más intuitivo que hacen sus estudios mucho más fácil. La definición habitual debe ser un teorema en mi opinión. Dada una función de $f:X\to Y$, mi definición favorita es:

• Para todos los conjuntos de $B\subset Y$, se tiene que $x\in \overline{f^{-1}(B)}\Rightarrow f(x)\in \overline{B}$

que me dice algo así como "si $x$ está cerca de a $f^{-1}(B)$ $f(x)$ debe estar cerca de $B$".

Answer 3

No es una respuesta a su pregunta, pero es demasiado largo para un comentario. Yo prefiero el abierto de los conjuntos de definición (a diferencia de lo que voy a llamar a los puntos de definición) para un par de razones.

En primer lugar, es simple. Se cuantifica en más de un solo tipo de objeto (abierto conjuntos), mientras que los puntos de definición de la cuantifica en más de dos (puntos y sets). Sé que al final del día, todo es un conjunto, pero, hey, los matemáticos hacen pensar en los tipos!

En segundo lugar, es económico. Una topología es una designación de, precisamente, el que los subconjuntos de a $X$ estamos considerando la posibilidad de estar abierto; en ninguna parte en la definición de una topología estamos considerando los puntos de $X$ individualmente (se podría argumentar que la "$X\in \tau$" considera ellos, pero sólo en su totalidad!). Si una función es continua o no depende únicamente de la topología, por lo que es bueno para tener una definición que sólo depende de la topología.

De hecho (y esto podría ser una tercera razón), la continuidad tiene un buen functorial descripción. La inversa de la imagen functor toma un mapa de $f:X\to Y$ y te da un mapa de $f^*:P(Y)\to P(X)$ definido por $f^*(U) = \{x\in X : f(x)\in U\}$. La imagen directa functor toma un mapa de $g:A\to B$ y te da un mapa de $g_*:P(A)\to P(B)$ definido por $g_*(C) = \{g(x): x\in C\}$. Ahora, un mapa de $f:(X,\tau)\to(Y,\tau')$ entre espacios topológicos es continua si y sólo si $(f^*)_*(\tau')\subseteq \tau$ (con igualdad si y sólo si $f$ es un homeomorphism). En particular, los automorfismos de a $(X,\tau)$ son precisamente las permutaciones $f$ $X$ tal que $(f^*)_*$ corrige $\tau$.

Answer 4

Se puede definir el aparentemente concepto diferente de un vecindario en el espacio: uno define en cada punto de $x\in X$ un conjunto ${\scr N}_x$ llamado los barrios de $x$ tal que ${\scr N}_x$ isa filtro con respecto a la inclusión (es no vacío, mientras que$N\in{\scr N}_x$$N'\supseteq N$$N'\in {\scr N}_x$, e $N,N'\in {\scr N}_x$$N\cap N'\in {\scr N}_x$), y es tal que para cualquier $N\in {\scr N}_x$ no es ${\scr N}_x\ni O\subseteq N$ tal que $O\in {\scr N}_y$ por cada $y\in O$. Se puede comprobar que el conjunto de vecindades de un punto (la colección de conjuntos que contiene un conjunto abierto que contiene al punto) satisface esta. Por el contrario, la definición de un conjunto abierto en un barrio en el espacio como un conjunto que es un barrio de cada uno de sus puntos rendimientos de una topología. Se verifica esta construcción es bijective, por lo que, de hecho, uno ve que podemos especificar una topología mediante la especificación de un barrio del sistema en cada punto. La definición de la continuidad es lo que uno espera: una función de $f:X \to Y$ es continua en un punto a $x\in X$ fib para cada vecindario $N$ de $f(x)$, $f^{-1}(N)$ es un barrio de $x$.

A veces uno simplemente tiene que especificar un barrio de base ${\scr B}_x$, que es ligeramente más débil: esta es una colección no vacía de conjuntos que contienen $x$, de tal manera que $B,B'\in{\scr B}_x$, hay un tercer ${\scr B}_x\ni B''\subseteq B'\cap B$ (por lo que este conjunto es dirigido), y tal que para cualquier $B\in {\scr B}_x$ hay $x\in V\subseteq B$ tal que $V$ contiene un elemento de ${\scr B}_y$ por cada $y\in V$. El ejemplo más claro de esta colección es el conjunto de abrir bolas $B(x,\varepsilon),\varepsilon >0$ en un espacio métrico. Estos son los básicos barrios en el punto de $x$, y el punto es que $U\in{\scr N}_x$ fib $U$ contiene algunos $V\in {\scr B}_x$. Aquí se puede especificar posiblemente diferentes sistemas básicos de los barrios en un punto (por ejemplo, $B_n=B(x,n^{-1})$ o $V_n=B(x,n^{-2})$. Para el espacio obtenido para heredar la misma topología, es necesario y suficiente que cada básicos barrio de colección contiene un básico barrio de los otros (de manera parecida a como se verifica de dos métricas son equivalentes, es decir, que dan lugar a la misma topología.)

Esto puede parecer engorroso al principio, pero permite más exóticos definiciones de espacios topológicos (tal vez?) una manera más sencilla: considerar el cerrado de la mitad superior del plano. Topologize de la siguiente manera: para los puntos del interior, el básico de los barrios son el abierto de bolas acostado dentro de la abierta la mitad de avión. Para los puntos en la recta real, los barrios están abiertas las bolas tangente al punto en cuestión, además de este punto. Este es un espacio que es separable (esto es fácil de comprobar!) pero no es segundo contable, por lo que no puede ser metrizable.

Answer 5

Creo que es útil tener alternativas (equivalente) definiciones para los términos en la topología. Por supuesto, hay más formas de caracterización de la continuidad: $f:X\to Y$ es continua iff $\overline {f[A]}\supseteq f[\overline A]$ todos los $A\subseteq X$. Toma de algunas discusiones para mostrar estos son equivalentes. Recuerdo que la definición que acabo de dar, fue especialmente útil cuando yo quería probar la continuidad de la Stone-Cech de extensión de la $\beta f:\beta X \to Y$ de una función continua $f:X\to Y$ $X$ en un compacto Hausdorff espacio de $Y$. La prueba fue casi inmediata. Aquí están algunos más que vienen a la mente:

$X$ está conectado si

• no existe una adecuada clopen subconjunto de $X$
• $X$ no es la unión de dos vacío conjuntos cerrados disjuntos
• $X$ no es la unión de dos disjuntos no vacíos abrir conjuntos de
• $X$ no es la unión de dos conjuntos no vacíos, ninguno de los cuales contiene un punto o punto límite de la otra.

$X$ T$_1$ si

• para cualquier distintos $x,y\in X$ existe un conjunto abierto que contiene a $x$ faltante $y$
• cada singleton es cerrado en $X$

Es bastante fácil para mostrar que esos son equivalentes. Los siguientes no son tan trivial, y si se trabaja en la teoría del continuo que con frecuencia se desea utilizar diferentes versiones:

La conexión de un compacto Hausdorff espacio de $X$ es indecomposable si

• $X$ no es la unión de dos adecuada cerrado conectado subconjuntos
• cada apropiado cerrado conectado subconjunto de $X$ es denso en ninguna parte
• para cualquier abierto no vacío $U,V\subseteq X$, $X$ es la unión de dos conjuntos cerrados ambos de los cuales se cruzan $U$ y cuya intersección es la contenida en $V$

En definitiva, se hace la vida mucho más fácil cuando usted tiene definiciones equivalentes.

Ahora, ¿por qué es la primera definición de continuidad que le dio el estándar de definición? Supongo que es porque es el más elemental y fácil de leer.