Sugerencia: Utilice la definición $$e^{x} = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}\tag{1}$$ to prove that $e^{x + y} = e^{x}e^{y}$. Then prove that $\lim_{x \to 0}e^{x} = 1$.
En su enfoque que usted menciona
Y si podemos decir $\lim\limits_{y\to b}\left[\lim\limits_{x\to a}f\right]=\lim\limits_{x\to a}\left[\lim\limits_{y\to b}f\right]$ para este problema;
¿Cómo estás seguro de que podemos decir que esta por encima de la igualdad es verdadera para este problema. Este tipo de igualdad no es cierto en general. Usted necesita hacer un análisis más detallado para decir que esto es cierto para el problema actual.
Actualización: Esto es en respuesta a las consultas de los OP en los comentarios. Primero de todo, la prueba de $e^{x + y} = e^{x}e^{y}$ es no trivial si utilizamos la definición de $(1)$. Voy a omitir esta por el momento y centrarse en la parte más fácil de la prueba de $\lim_{x \to 0}e^{x} = 1$. Primero vamos a $x \to 0^{+}$ entonces podemos asumir $0 < x < 1$. Tenemos
\begin{align}
e^{x} &= \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}\notag\\
&= \lim_{n \to \infty}\left\{1 + x + \frac{x^{2}}{2!}\left(1 - \frac{1}{n}\right) + \frac{x^{3}}{3!}\left(1 - \frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{2}{n}\right) + \cdots\right\}\notag\\
& = 1 + x + \lim_{n \to \infty}F(x, n)\text{ (say)}\tag{2}
\end{align}
Ahora podemos ver que, si $0 < x < 1$
\begin{align}
F(x, n) &< \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \cdots + \frac{x^{n}}{n!}\notag\\
&< \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{4}}{8} + \cdots\notag\\
&= \frac{x^{2}}{2 - x}\notag
\end{align}
Así tenemos $$0 < F(x, n) < \frac{x^{2}}{2 - x}$$ and clearly from definition of $F(x, n)$ we see that $F(x, n)$ is increasing as $n$ increases and by above inequality it is bounded above. Hence $$\lim_{n\to\infty}F(x, n) = F(x)$$ exists for $0 < x < 1$ and clearly $$0 \leq F(x) \leq \frac{x^{2}}{2 - x}$$ and hence by Squeeze Theorem $$\lim_{x \to 0^{+}}F(x) = 0$$ From $(2)$ we have $$e^{x} = 1 + x + F(x)$$ and therefore $\lim_{x \to 0^{+}}e^{x} = 1$.
La prueba de $x \to 0^{-}$ requiere que pongamos $x = -y$ y utilice el hecho de que $e^{x} = 1/e^{-y}$. Esta es una sencilla consecuencia de $e^{x + y} = e^{x}e^{y}$ que podemos demostrar mediante el siguiente lema:
Lema: Si $a_{n}$ es una secuencia de números reales o complejos con $n(a_{n} - 1) \to 0$$n \to \infty$$a_{n}^{n} \to 1$$n \to \infty$.
Tomamos la secuencia $$a_{n} = \dfrac{\left(1 + \dfrac{x}{n}\right)\left(1 + \dfrac{y}{n}\right)}{\left(1 + \dfrac{x + y}{n}\right)}$$ and see that $n(a_{n} - 1) \a 0$ and hence $a_{n}^{n} \a 1$ and therefore $e^{x}e^{y} = e^{x + y}$.
La prueba del lema anterior está disponible aquí.
