Fracciones continuas

Question

Realmente me encantaría con la conclusión de que para un determinado enteros $a_0,a_1,...a_N$$a_i>0$$i>0$, que representa la continuación de la fracción de $[a_0; a_1,....,a_N]$, con la siguiente recursión:

$p_{-1}=1, q_{-1}=0, p_o=a_0, q_o=1, p_s=a_sp_{s-1}+p_{s-2}, q_{s}=a_sq_{s-1}+q_{s-2}$

podemos conseguir que $[a_0; a_1,....,a_N]=\frac{p_s}{q_s}$.

Traté de hacer que con la inducción, el paso básico para $s=0$ es trivial, asumiendo que es correcto para$n$ , ¿cómo puedo comprobarlo por $n+1$? Traté de utilizar los datos que se dan, pero no estoy seguro de cómo.

Muchas gracias

Answer 1

Creo que el enfoque más fácil a esta pregunta es asociar a cada finito continuó fracción símbolo $[a_0; a_1,....,a_N]$ no sólo un número racional, pero una $2\times 2$ matriz con el número natural entradas, es decir, la matriz producto $$ M(a_0,a_1,....,a_N)= \pmatrix{a_0&1\\1&0} \cdot \pmatrix{a_1&1\\1&0} \cdots \pmatrix{a_N&1\\1&0} $$ La primera columna de esta matriz (su valor cuando se aplica a $\tbinom10$) da el numerador y el denominador el valor de la continuidad de la fracción $\alpha=[a_0; a_1,....,a_N]$, como se deduce de la definición de fracciones continuas por una inducción inmediata en $N$. Pero la matriz da más información acerca de la posición de $\alpha$ en el de Stern-Brocot árbol, o más precisamente, la de su descendiente $\alpha'=[a_0; a_1,....,a_N,1]$ "continuando en la misma dirección" (que sirve como punto de partida para la continuación de las fracciones que comienzan con $[a_0; a_1,....,a_N,\ldots]~$). La suma de las columnas de a $M(a_0,a_1,....,a_N)$ (su valor en $\tbinom11$) da el numerador y el denominador de $\alpha'$, mientras que la segunda columna (su valor en $\tbinom01$) le da la más cercana antepasado de $\alpha'$ en el lado opuesto con respecto a $\alpha$, que es también (si $N>0$) de la anterior convergente $\beta=[a_0; a_1,....,a_{N-1}]~$.

Personalmente creo que estas matrices son la mayoría de los objetos útiles para trabajar con; de la pérdida de material es fácil en términos de, por ejemplo, el hecho de que su determinante es $(-1)^{N+1}$ es inmediata a partir de la definición. También bajando a un lado convergente sólo necesita una matriz anterior, y consiste en un simple derecho de la multiplicación. Sin embargo, uno puede deducir fácilmente de una recurrencia de la fórmula de fin de $2$ para el convergents en forma reducida. De hecho, si estos convergents se $\frac{p_i}{q_i}$ en forma reducida como en la pregunta, entonces, por la descripción anterior $$ M(a_0,a_1,....,a_{s-1})=\pmatrix{p_{s-1}&p_{s-2}\\q_{s-1}&q_{s-2}} $$ para $s\geq2$, y $$ M(a_0,a_1,....,a_{s-1},a_s)=\pmatrix{p_s&p_{s-1}\\q_s&q_{s-1}} = M(a_0,a_1,....,a_{s-1})\cdot \pmatrix{a_s&1\\1&0} $$ a partir de la cual se deduce $p_s=p_{s-1}a_s+p_{s-2}$$q_s=q_{s-1}a_s+q_{s-2}$.

Answer 2

Compruebe 4-5 en Khinchin del libro (en Google Books).