La prueba directa de Gelfand-Zetlin identidad

Question

Denotar por $D(a_1,\dots,a_n)$ el producto $\prod_{j>i}(a_j-a_i)$. Suponiendo que $a_i$ son enteros s.t. $a_1\le a_2\le\dots\le a_n$, prueba de que $D(a_1,...,a_n)/D(1,...,n)$ es el número de Gelfand-Zetlin triángulos (es decir, los triángulos que consta de $\frac{n(n+1)}2$ enteros, s.t. cada número es mayor que inferior izquierda del vecino, pero no mayor que la inferior derecha vecino) con la base de $a_i$.

Por ejemplo, para n=3 hay que probar que el número de b₁, b₂, b' s.t. $a_1\le b_1<a_2\le b_2<a_3$, $b_1\le b'<b_2$ es exactamente $\frac{(a_3-a_2)(a_3-a_1)(a_2-a_1)}{3}$.

Como se puede adivinar por el nombre de "Gelfand-Zetlin", este hecho es bien conocido en la teoría de la representación (es decir, en LHS contamos dimensión de una $gl_n$representación de Weyl fórmula, y en RHS contamos elementos de Gelfand-Zetlin base de la misma representación). Pero tal vez alguien puede venir con más o menos directa de la prueba? (Algún tipo de bijective prueba, tal vez.)

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Informal probabilístico argumento

Por simplicidad, consideremos el caso $n=3$: D(a_1,a_2,a_3) cuenta el número de triángulos s.t. $a_1\le b_1<a_2\le b_2<a_3$, $a_1\le b'<a_3$ - y nosotros estamos interesados sólo en el G-Z triángulos, es decir, en los triángulos s.t. $b_1\le b'< b_2$. Ahora, la esperanza matemática de la duración del intervalo $(b_1,b_2)$ es exactamente la mitad de la longitud del intervalo de la que $b'$ es elegido. Por lo tanto, podemos esperar que la probabilidad de que un triángulo es G-Z es $1/2$ - y la respuesta es, de hecho,$D(a_1,a_2,a_3)/D(1,2,3)$.

(El principal problema de este cálculo es que estamos multiplicando las probabilidades de los eventos que claramente no son independientes. Y aunque para n=3 no es difícil transformar esta heurística argumento en una prueba formal, incluso para n=4 que he dejado de hacer tal cosa.)

Answer 1

Como Qiaochu señala la fórmula dada por Gjergji Zaimi es ciertamente relevante. Se da cuenta de la $D(a_1,\ldots,a_n)/D(1,\ldots,n)$ como el determinante de la $n$a$n$ matriz $M$ $(i,j)$- entrada $${a_i\choose j-1}.$$ Por la fila de las operaciones de este es igual al determinante de la $(n-1)$a$(n-1)$ matriz $N$ con $(i,j)$-entrada $${a_{i+1}\choose j}-{a_i\choose j}.$$ El $i$-ésima fila de a $n$ es la suma de los vectores $v_{a_i},v_{a_i+1},\ldots,v_{a_{i+1}-1}$ donde el $j$-ésima de a $v_c$ es $${c\choose j-1}.$$ Por la multilinealidad de el determinante como una función de sus filas, $N$ es la suma de los determinantes con filas $v_{b_1},\ldots,v_{b_{n-1}}$ donde $a_1\le b_i < a_2\le b_2 < a_3\le\cdots$. Estas tuplas $(b_1,\ldots,b_{n-1})$ son precisamente los admisible penúltimo filas en GZ triángulos en la parte inferior de la fila $(a_1,\ldots,a_n)$. Por lo tanto ambos lados de la buscó la igualdad de satisfacer la misma recurrencia.

Answer 2

Schur polinomios de prueba

Observar que $D(a_1,\ldots,a_n)/D(1,\ldots,n)=s_\lambda(1,\ldots,1)$ ( $a_i=\lambda_i+i$ ). Pero por Giambelli (aka Jacobi-Trudi) fórmula $s_\lambda=\det h_{\lambda_i+j-1}$, lo $s_\lambda(1,\ldots,1)=\det\binom{a_i}{j-1}$. Ahora por Lindstrom-Gessel-Viennot lema último determinante de la cuenta no-intersección de la celosía de las rutas desde el set $0,1,\ldots,n$ sobre el eje Y para el conjunto de $a_1,\ldots,a_n$ en el eje X. Por último, observar que dicha ruta se caracteriza por coordenadas x de los "pasos", los cuales están sujetos a las condiciones de la definición de GZ triángulo.

/* Bueno, no es que el directo y es más o menos la prueba de Robin Chapman respuesta. Sin embargo, se explica algo, espero. */