Aclaraciones sobre la definición del producto, en la Categoría de Teoría

Question

Soy auto-estudio de Hungerford el libro de Álgebra. He aquí la definición que yo no entiendo.

Deje $\mathcal{C}$ ser una categoría y $\{A_{i}|i\in I\}$ una familia de los objetos de $\mathcal{C}.$ Un producto de la familia $\{A_{i}|i\in I\}$ es un objeto $P$ $\mathcal{C}$ junto con una familia de morfismos $\{\pi_{i}:P\rightarrow A_{i}|i\in I\}$ tal que para cualquier el objeto $B$ y de la familia de morfismos $\{\varphi_{i}:B\rightarrow A_{i}|i\in I\},$ there is a unique morphism $\varphi: B\rightarrow P$ tal que $\pi_{i}\circ \varphi =\varphi_{i}$ todos los $i\in I.$

Déjame que te explique lo que no entiendo en la definición anterior. Cada vez que tengo que mirar hacia atrás para ver si la correcta es "no hay una única morfismos $\varphi: B\rightarrow P$" o "no hay una única morfismos $\varphi: P\rightarrow B$".

Después de leer los comentarios de abajo, yo era capaz de entender la definición.

Pero me gustaría saber la motivación para esta definición. Me preguntaba qué llevar a la persona a definir el "producto" en una categoría?

Y mediante el Arturo de la palabra (espero que con su permiso) ¿qué es la intuición detrás de "productos" en una categoría?

Además, si hay una categoría que no tiene ningún producto, lo que se puede decir al respecto? Puedo decir que no es buena?

Agradecería su ayuda.

Answer 1

De la categoría de las definiciones de los objetos básicos (productos, co-productos, ecualizadores, coequalizers, límites, colimits, etc) surgen a partir de la abstracción de una situación particular que se presenta en muchos casos.

La noción de un "producto" aparece repetidamente entre Conjuntos (producto cartesiano), Grupos (producto cartesiano de nuevo), Anillos (producto cartesiano sin embargo, de nuevo), Módulos (y de nuevo), espacios Topológicos (y de nuevo).

Su "objeto" propiedades varían de una categoría a otra; en la clase de abelian grupos, el producto directo contiene la suma directa, que es un importante objeto en su propio derecho (también es importante en los Grupos, pero por lo menos). Entre Unital Anillos, sin embargo, la suma directa es no un objeto interesante cuando es diferente de la del producto (porque no es un unital anillo). En espacios topológicos, hay una forma "natural" de la definición de la topología de un producto (el "cuadro" de la topología), pero resulta que falta en algunos inquietos sentido cuando hay demasiados factores en el producto... y hay una posibilidad alternativa (el "producto de la topología") que parece comportarse mejor...

El general, el principio rector en la Categoría de Teoría, sin embargo, es que lo importante no es lo que un objeto "es", sino más bien de lo que "hace": cómo se comporta respecto a otros objetos en términos de flechas/morfismos. Así que queremos abstraer las propiedades que todas esas instancias compartir en $\mathbf{Sets}$, $\mathbf{Groups}$, $\mathbf{AbGroups}$, $\mathbf{Rings}$, $\mathbf{UnitalRings}$, $\mathbf{Semigroups}$, $\mathbf{TopSpaces}$, etc. (En el último caso, se sugiere incluso que de los dos posibles topologías de "debería" ser usado).

Así que... ¿qué significan todas estas instancias específicas tienen todas en común? Desde el producto cartesiano le puede asignar a cada factor: si vamos a ver el producto cartesiano $\times X_i$ como el conjunto de funciones de $f\colon I\to \cup X_i$ $f(i)\in X_i$ por cada $i\in I$, entonces tenemos una natural mapa desde el producto a cada una de las $X_i$ por "evaluación": $\pi_i\colon f\longmapsto f(i)$. Y $f$ está totalmente determinado por estas imágenes, de modo que si usted ", seleccione" $x_i\in X_i$ por cada $i$, esto le da una única $\mathbf{x}\in \times X_i$.

Ah, pero de nuevo: no queremos pensar en términos de elementos (lo que los objetos "son"), sino más bien en términos de mapas. Para $\mathbf{Sets}$, la selección de los objetos es la misma que la asignación de elemento único conjuntos... pero de nuevo tenemos que preocuparse por el qué de los objetos "son" (único elemento sets)...

Bien: ya que nos preocupamos por los mapas, tenga en cuenta esto: no sólo podemos ir de $\times X_i$ a cada una de las $X_i$. Estos mapas son tales que si usted tiene cualquier conjunto de $Y$, y cualquier mapas de $g_i\colon Y\to X_i$, entonces cada una de las $y\in Y$ determina un elemento de $\times X_i$, es decir, $y\colon i\to g_i(y)$. Dicho de otra manera:

Si dejamos $\pi_i\colon\times X_i\to X_i$ ser la de "evaluar en $i$" el mapa, entonces para cualquier conjunto $Y$ y los mapas $g_i\colon Y\to X_i$, hay una manera de mapa de $g\colon Y \to \times X_i$ de tal manera que $\pi_i\circ g(y) = g_i(y)$ por cada $i$.

Lo que es más, $g$ es totalmente forzada por esta condición. Esta es una buena "categórico" de la propiedad, puesto que se da exclusivamente en términos de morfismos.

¿La propiedad "ir a través de" las otras instancias? El grupo con el coordinatewise producto? El semigroup/anillo/módulo con coordinatewise producto? Sí! Bueno. ¿Qué acerca de los espacios topológicos? Sí, con respecto a la topología producto... no con respecto a la Caja de la topología... así que queremos usar el producto "topología" para el "producto".

Esta definición coincide con la de muchos de los casos, y tiene buena "categórico" propiedades. Es completamente caracteriza el producto hasta un único isomorfismo. Así que parece una buena definición. Resulta ser la forma correcta de generalizar las propiedades del producto cartesiano/producto directo a otras categorías.