¿Por qué es $\sqrt{-2} \sqrt{-3} \neq \sqrt{6}$ ?

Question

¿Por qué es $\sqrt{-2} \cdot \sqrt{-3} \neq \sqrt{6}$ ? ¿Existen otros ejemplos en los que la aritmética regular se equivoca con los números complejos?

Answer 1

Hay que tener cuidado con las raíces cuadradas, porque para cualquier $y$ tenemos $2$ valores de $x$ Satisfaciendo a $x^2=y$ mientras que la función de raíz cuadrada sólo da una de ellas. En su caso, aunque $(\sqrt{-2} \cdot \sqrt{-3})^2 = \sqrt{6}^2$ tenemos que $\sqrt{-2} \cdot \sqrt{-3} = -\sqrt{6}$ La otra solución posible para $x^2=6$ . Así que debe tener en cuenta que $\sqrt{a^2}=a$ no es necesariamente cierto. Una suposición errónea relacionada con esto que se hace a menudo es $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ . Mientras que $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ es cierto para algunos no es válida para todos los $a,b$ . ¿Y si así fuera? Esto haría válida la siguiente "prueba": $$1=\sqrt{1^2}=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=-1$$ por lo que claramente no puede serlo.

Editar: Tenga en cuenta que muchas personas ni siquiera definen $\sqrt{y}$ para $y<0$ por las razones descritas en el comentario de Didier. En este post dejo $\sqrt{y}$ se definirá como la solución de $x^2=y$ con componente imaginaria positiva, como parece que se hace en el post original.

Answer 2

El argumento de un número complejo sólo se determina hasta la suma/resta de múltiplos de $2\pi$ .

Ahora al multiplicar números complejos $z_1, z_2$ podemos visualizar la respuesta como si tuviera módulo $|z_1||z_2|$ y el argumento en el conjunto $\{\text{arg}(z_1) + \text{arg}(z_2) + 2k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}$ .

Así que tomar la raíz cuadrada debería ser esencialmente la raíz cuadrada (positiva) del módulo y la mitad de todos los argumentos posibles.

Veamos cómo funciona esto con $\sqrt{-4}$ . Como número complejo $-4$ tiene módulo $4$ y los posibles argumentos $\{\ldots, -\pi, \pi,\ldots\}$ .

Si consideramos que el argumento es $\pi$ entonces la raíz cuadrada debe ser $2i$ (ya que es de módulo $2$ y el argumento principal $\frac{\pi}{2}$ ).

Sin embargo, si consideramos que el argumento es $-\pi$ entonces la raíz cuadrada debe ser $-2i$ (ya que es de módulo $2$ y el argumento principal $-\frac{\pi}{2}$ ).

Todos los demás argumentos posibles dan uno de estos dos números complejos.

Se ve cómo se puede elegir la raíz cuadrada, y no es muy favorable elegir una sobre la otra. Los números complejos no tienen un ordenamiento agradable como los números reales.

Compara esto con las raíces cuadradas de los números reales positivos. Considerando que el número tiene argumento $0$ obtenemos la raíz cuadrada positiva pero considerando que el número tiene argumento $2\pi$ obtenemos la raíz cuadrada negativa. Normalmente elegimos la raíz cuadrada positiva sobre la negativa, pero ambas son igual de importantes.

Así que realmente algo como $\sqrt{-2}\sqrt{-3}$ tiene $4$ diferentes valores dependiendo de la raíz cuadrada que se tome para cada término.

Answer 3

Curiosamente, el gran Euler, en su Álgebra , escribe explícitamente que $\sqrt{-2}\sqrt{-3}=\sqrt{6}$ . (Esto es en el artículo $148$ , p. $43$ .) Anteriormente, escribe que $\sqrt{9}=3$ , por lo que no está tratando la raíz cuadrada como una función de valores múltiples. Tu pregunta me recordó que vi esto hace muchos años, y me pregunté por qué lo hizo. Muy buen libro, mejor que los actuales que hacen lo básico del álgebra.