Encuentre todas las soluciones de la ecuación de $x! + y! = z!$

Question

No sabe por dónde empezar con este. ¿Nos fijamos en dos de los casos donde $x<y$ e donde: $x>y$ y, a continuación, muestran que el número más pequeño tendrá los mismos valores de la mayor? ¿Qué te parece?

Answer 1

Tenga en cuenta que si $z$ $3$ o más, no habrá solución como $2(z-1)! \lt z!$. Que no deja muchas posibilidades para comprobar.

Answer 2

Deje $x \le y < z$:

Tenemos $x! = 1\cdot 2 \cdots x$, $y! = 1\cdot 2 \cdots y$, y $z! = 1\cdot 2 \cdots z$.

Ahora podemos dividir por $x!$ $$1 + (x+1)\cdot (x+2)\cdots y = (x+1)\cdot (x+2) \cdots z$$

Usted puede fácilmente demostrar por inducción que el lado derecho es más grande que el izquierdo para todas las $z>2$. Los únicos casos que quedan son $0! + 0! = 2!$, $0! + 1! = 2!$, $1! + 0! = 2!$, y $1! + 1! = 2!$.

Answer 3

Suponga que $x\ne y$, decir $x\lt y$, entonces uno sabe que $x\leqslant y-1$ y $z\gt y$ por lo tanto $z\geqslant y+1$. Por lo tanto, $z!\geqslant y!(y+1)$$x!+y!\leqslant y!(1+1/y)$. Si estos son iguales, $1+1/y\geqslant y+1$. Se puede terminar este caso y encontrar un argumento similar al $x=y$?

Answer 4

Supongamos, sin pérdida de generalidad que $x\leq y$. Vamos necesariamente han de tener $y\leq z$, así.

Si $x=y$,$x!+y!=2\cdot x!$, que puede ser sólo un factorial si $x=0$ o $x=1$. Si $x<y$, luego dividiendo por $x!$ rendimientos $$1+y\cdot(y-1)\cdots(x+1)=z\cdot(z-1)\cdots(x+1).$$ We then clearly can't have $z=y$ (why?), so after subtraction and factoring, we have $$1=\bigl[z\cdots(y+1)-1\bigr]\cdot y\cdot(y-1)\cdots(x+1).$$ This only works if $$z\cdots(y+1)=2$$ and $$y\cdot(y-1)\cdots(x+1)=1.$$ (why?) This implies that $y=1=x+1$ and $z=2$.

Por lo tanto, sólo es necesario considerar la posibilidad de triples $(x,y,z)$ de los enteros no negativos con $z=2$.

Answer 5

Supongamos que $0 \le x \le y$ WLOG. A continuación,$y! < x! + y! \le 2(y!) < (y+1)!$$y \ge 2$, así que no hay soluciones con $y \ge 2$ son posibles (porque entonces todos los $x! + y!$ es entre dos consecutivos factoriales y no es igual a uno).