$f(x)=\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{n!n!}$ disminuyendo?

Question

Definir una función $f: \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ $f(x)=\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{n!n!}$

Mostrar que f es decreciente en a $x \in [0,2]$ y que existe una única $x_0 \in [0,2]$ que $f(x_0)=0$.

Empecé por el cálculo de $f'$, pero no sé qué hacer a continuación.

Answer 1

El derivado de la forma $\sum (-1)^n a_n(x)$, donde usted puede probar que $0 \leq a_{n+1}(x) \leq a_n(x)$ por cada $n \geq 1$$x \in [0,2]$. Tal alternancia de serie tiene el mismo signo que su primer mandato (la prueba!).

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Con el fin de demostrar que el $f(2) < 0$, usted puede comenzar a notar que $f(2) = 1 - 2 + 1 + R$ con $$ R = \sum_{n=3}^\infty (-1)^n\frac{2^n} {n!)^2} $$ y justificar por qué $R < 0$.