Puede cualquier función continua se representa como un infinito polinomio?

Question

Puede cualquier función continua se representa como un infinito polinomio?

Motivación: la antiderivada

$ \int^\ e^{-x^2}dx\ $

puede ser expresado como un infinito polinomio(escribir la serie de Taylor para integrando la función e integrar) pero esto no tiene antiderivada cerrado/elemental forma de expresión de acuerdo con el teorema de Liouville, pero es claramente continua. También lo son el resto de los no-funciones elementales expresable como la infinita polinomios? Fascinante.Cualquier conocimiento sobre cómo proceder????

Answer 1

No!

Las funciones que se dan por una convergente de alimentación de la serie son bastante raras en todo el esquema de las cosas. Se llaman funciones analíticas.

Hay toda una clase de funciones que son llamadas plana funciones. Estos tienen todos sus derivados cero en un punto dado, y por eso, con el desarrollo en serie de Taylor, podemos decir, son idénticamente cero. El clásico ejemplo de un plano de la función es $x \mapsto \operatorname{e}^{-1/x^2}$. Donde $0 \mapsto 0$. En este caso todos los derivados son cero en el cero (que tiene que tomar límites) y por eso, con el desarrollo en serie de Taylor se refiere, esta es la función cero.

Además, algunas series de Taylor sólo se mantiene en cetain regiones. Por ejemplo, la serie de Taylor de $(1-x)^{-1}$ está dado por $1+x+x^2+x^3+\cdots+x^k+\cdots$. Esto está bien para todos los $-1 < x < 1$, pero cuando se $|x|>1$ tenemos serios problemas.

Answer 2

La siguiente función no sólo es continuo, sino que se ha continuos derivados de todos los pedidos. Sin embargo, no es igual a cualquier serie de Taylor. $$f(x)=\begin{cases} e^{-1/x^2} & x>0\\ 0 & x\le 0\end{cases}$$

Answer 3

Y hay algo más raro, tales como la trayectoria de una dimensión de movimiento Browniano, que es una función continua pero no diferenciable. Dado que la energía de la serie son diferenciables en el intervalo de covergence(a excepción de los extremos), estos diferenciable, funciones continuas no puede ser representado como la potencia de la serie