Divida el círculo en 9 piezas de área igual

Question

Me gustaría dividir un disco de un círculo unidad en nueve partes de igual área, utilizando arcos de círculo como líneas delimitadoras.

Todo el conjunto debe ser simétrico bajo el grupo de simetría del cuadrado, es decir, 4 ejes de simetría y simetría rotacional de 4 pliegues. Los arcos divisores deben tener todos la misma curvatura. _(Gracias al comentario de i. m. soloveichik por hacerme consciente de este último requisito.)_ Por estas razones, varias áreas automáticamente serán del mismo tamaño, indicadas por un color común en la figura anterior. Hay tres colores diferentes correspondientes a tres formas diferentes, y el requisito de que todas estas tengan la misma área corresponde, por lo tanto, a dos ecuaciones. Esto concuerda bien con el hecho de que hay dos parámetros reales que uno puede ajustar, por ejemplo, la distancia $d$ entre el centro de la figura y los centros de los círculos divisores, junto con el radio $r$ para estos círculos divisores. Otras combinaciones son posibles.

Pero ¿cómo se podrían obtener los números reales de estos parámetros? ¿Es la solución incluso única?

Entiendo que podría ser difícil dar una respuesta exacta a esta pregunta. Por lo tanto, las respuestas numéricas también son aceptables, siempre y cuando expliquen cómo se obtuvieron los números, no solo cuáles son los números.

Answer 1

Para responder a tu segunda pregunta: La solución es única.

Para una distancia fija $d$ de los centros, hay un radio único $r$ de los círculos divisorios que hace que el área de la parte verde sea $\frac19$ del círculo completo. Claramente, con el crecimiento de $d$, $r$ debe crecer. De hecho, el cuadrado determinado por los cuatro vértices de la parte verde debe crecer porque con un $r$ más grande, el exceso de la forma verde sobre ese cuadrado disminuye. Pero eso significa que los vértices se desplazan hacia el exterior del círculo y también los arcos se vuelven más planos, ambos efectos hacen que las partes azules sean más pequeñas. Por lo tanto, solo hay un $d$ (con un $r$ correspondiente) que hace que las partes azules sean $\frac 19$ cada una, lo que automáticamente resuelve el rompecabezas completo.

La solución en sí solo se puede encontrar numéricamente.

Answer 2

Basado en la respuesta de Hagen, escribí un poco de código para calcular numéricamente $d$ en un bucle externo y $r$ para un $d$ dado en un bucle interno. Los resultados que obtuve lucen así:

\begin{align*} r &= 4.740253970598989846488464631691100376659654929999896463057971 \\ d &= 4.441836291757233092492625306779987045065972123154874957376197 \end{align*}

Esto fue calculado utilizando aritmética de intervalos de precisión arbitraria, así que a menos que haya arruinado completamente mi algoritmo de bisección, los dígitos dados deberían ser fiables.

Los parámetros denotan el cero común de estas dos funciones, escritas en Python para Sage y utilizando el comentario de joriki:

def area1(d, r):
    """Valor de déficit de dos áreas azules y una roja."""
    x = (r^2 - 1 - d^2)/(2*d)       # intersección como lo describió @joriki
    a1 = 2*x.arccos()               # ángulo para el círculo central
    a2 = 2*((d + x)/r).arccos()     # ángulo para el círculo externo
    a1 = (a1 - a1.sin())/2          # ángulo del segmento del círculo central
    a2 = (a2 - a2.sin())/2*r^2      # ángulo del segmento del círculo externo
    return d.parent().pi()/3 - (a1 - a2) # forma de la luna esperada menos la real

def area2(d, r):
    """Valor de exceso del área verde."""
    x = ((2*r^2 - d^2).sqrt() - d)/2 # intersección del círculo externo con la línea x = y
    a2 = 2*((d + x)/r).arccos()      # ángulo para el círculo externo
    a2 = (a2 - a2.sin())/2*r^2       # área de un segmento del círculo verde
    return ((2*x)^2 + 4*a2) - d.parent().pi()/9 # cuadrado + segmentos - esperado

Los signos de los resultados están escogidos de tal forma que area2 aumenta con $r$ para $d$ fijo, mientras que area1 aumenta con $d$ para $r$ óptimo. Aproximando las áreas resultantes utilizando polígonos, pude verificar el resultado con una precisión razonable, así que creo que en este segundo intento (ver historial de edición para el primer error), obtuve las fórmulas correctas.

La figura resultante, por cierto, luce así: