Números Carmichael de forma $m^3+1$ y la de Ramanujan $1729$

Question

Mientras investigaba para un post sobre pseudoprimas de tetranacci He encontrado una lista de Números Carmichael ,

$$C_n = 561,\, 1105,\, 1729,\, 2465,\, 2821,\dots$$

Por supuesto, El número del taxi de Ramanujan $1729 = 12^3+1$ destacó. Así que miré otros casi-cubos $C(m) = m^3+1$ y descubrió que para $n<10000$ había seis, a saber,

$$m = 12,\, 36,\, 138,\, 270,\, 4800,\, 7560,\dots?$$

$C(m) = m^3+1 = (m+1)(m^2-m+1)$ tienen las factorizaciones,

$$C(12) = 7 \cdot \color{brown}{13} \cdot 19$$

$$C(36) = 13 \cdot \color{brown}{37} \cdot 97$$

$$C(138) = 7 \cdot 37 \cdot 73 \cdot \color{brown}{139}$$

$$C(270) = 13 \cdot 37 \cdot 151 \cdot \color{brown}{271}$$

$$C(4800) = 7 \cdot 19 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 151 \cdot \color{brown}{4801}$$

$$C(7560) = 271 \cdot 433 \cdot 487 \cdot \color{brown}{7561}$$

Tenga en cuenta que $m+1$ es primo.

Preguntas:

1. Dado que existe un número infinito de números de Carmichael, ¿qué otros son de la forma $m^3+1$ ?
2. ¿Es cierto que si es de forma $m^3+1$ entonces $m+1$ ¿es primo?

P.D. Richard Pinch base de datos con $C_n<10^{21}$ parecen tener enlaces rotos.

$\color{brown}{Update}$ : Cortesía de la respuesta de R. Pinch, el completa lista con $C_n<10^{21}$ incluyen tres más,

$$C(12840)$$

$$C(14700)$$

$$C(678480)$$

y sólo $14700+1$ es compuesto.

Answer 1

Los primeros números de Carmichael de la forma $m^3+1$ son

 1729
 46657
 2628073
 19683001
 110592000001
 432081216001
 2116874304001
 3176523000001
 312328165704192001

El octavo de la lista, que es $C_{12616}$ tiene un valor compuesto de $m+1$ .

BTW, mis mesas están actualmente en http://s369624816.websitehome.co.uk/