La expectativa de vida conjunta span

Question

La vida útil de un particular en la parte mecánica es una variable aleatoria descrita por el siguiente PDF:

Si al cabo de tres piezas se ponen en servicio de forma independiente en t=0, determine un simle expresión para el valor esperado del tiempo hasta que la mayoría de las partes han fracasado.

Puedo conseguir el PDF: $$ f_L(l) = 0.4 (0 \leq l \leq 2) \\ f_L(l) = -0.4 l + 1.2 (2 < l \leq 3) $$ y la expectativa: $$ E(l) = \int_0^3 l f_L(l) dl \aprox 1.27 $$

Creo que la "mayoría" se refiere a 2 o más, por lo que podemos centrarnos en dos partes de las tres, y no prestan atención a la tercera. La traducción es$E(max(l1, l2))$, ¿cómo será esto derivado de que actualmente no tienen idea.

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Perdón por la engañosa comentario "$E(max(l_1, l_2))$", que es malo para el abandono de la tercera parte, ya que si uno falla temprana, entonces solo tenemos uno de los resto a fallar.

Answer 1

Deje $X$ el valor de la vida útil de cualquier componente y $T$ el primer tiempo, cuando al menos 2 de los 3 componentes falla. El evento $[T\gt t]$ significa que ninguno de los 3 componentes de la falla antes de tiempo $t$ o de que exactamente 1 componente, de 3 de falla antes de que el tiempo, por lo tanto, para cada $t\gt0$, $$ \mathbb P(T\gt t)=\mathbb P(X\gt t)^3+3\mathbb P(X\gt t)^2\mathbb P(X\lt t), $$ es decir, $$ \mathbb P(T\gt t)=1-3u(t)^2+2u(t)^3=v(t)^2(3-2v(t)), $$ con $$ u(t)=\mathbb P(X\lt t),\qquad v(t)=1-u(t)=\mathbb P(X\gt t). $$ Además, $$ \mathbb E(T)=\int_0^{+\infty}\mathbb P(T\gt t)\mathrm dt. $$ En el presente caso, la densidad de $X$ $f_X(t)=\frac25$ si $0\lt t\lt 2$ $f_X(3-t)=\frac25t$ si $0\lt t\lt 1$. Por lo tanto $u(t)=\frac25t$ si $0\lt t\lt 2$ $v(3-t)=\frac15t^2$ si $0\lt t\lt 1$. Este rendimientos $$ \mathbb E(T)=\int_0^2(1-3u(t)^2+2u(t)^3)\mathrm dt+\int_0^1v(3-t)^2(3-2v(3-t))\mathrm dt, $$ es decir, $$ \mathbb E(T)=\int_0^2(1-\tfrac{12}{25}t^2+\tfrac{16}{125}t^3)\mathrm dt+\int_0^1\tfrac1{25}t^4(3-\tfrac25t^2)\mathrm dt, $$ o, $$ \mathbb E(T)=\left[t-\tfrac{4}{25}t^3+\tfrac{4}{125}t^4\right]_{t=0}^{t=2}+\left[\tfrac3{125}t^5-\tfrac2{125}\tfrac17t^7\right]_{t=0}^{t=1}, $$ es decir, $$ \mathbb E(T)=2-\tfrac{32}{25}+\tfrac{64}{125}+\tfrac3{125}-\tfrac2{125\cdot7}=\tfrac{1097}{875}=1.253\overline{714285}. $$

Answer 2

El valor de $E \left[ \max \left( L_1, L_2 \right) \right]$ se calcula en de la siguiente manera. En primer lugar, la distribución del máximo de dos idénticas de forma independiente distribuida variable aleatoria $L_1$ $L_2$ está dada por $2 f \left( \ell \right) F \left( \ell \right)$ where $f \left( \ell \right)$ es la densidad y $F \left( \ell \right)$ es la distribución acumulativa la función. Esto es bien conocido, usted podría encontrar la fórmula aquí. No es difícil derivar: \begin{eqnarray*} \Pr \left[ \max \left( L_1, L_2 \right) \leqslant \ell \right] & = & \Pr \left[ \left\{ L_1 \leqslant \ell \right\} \cap \left\{ L_2 \leqslant \ell \right\} \right]\\ & = & \Pr \left[ L_1 \leqslant \ell \right] \Pr \left[ L_2 \leqslant \ell \right]\\ & = & F \left( \ell \right)^2 \end{eqnarray*} Tomando la derivada da la densidad de $2 f \left( \ell \right) F \left( \ell \right)$.

La función de densidad de probabilidad $f(\ell)$ está dada por (como se indica) $$ f \left( \ell \right) = \frac{2}{5} 1_{\ell} \left[ 0, 2 \right) + \left( - \frac{2}{5} \ell + \frac{6}{5} \right) 1_{\ell} \left[ 2, 3 \right) $$ donde la notación $1_{\ell}A$ con intervalo de $A$ es el de una variable de indicador. Esto significa $$ 1_{\ell} \left (\right) = \left\{ \begin{array}{lll} 1 & & \text{if } \ell \in A\\ 0 & & \text{otherwise} \end{array} \right. $$ Por lo tanto, la cumlative función de distribución está dada por $$ F( \ell)= \frac{2 \ell}{5} 1_{\ell} \left[ 0, 2 \right) + \frac{1}{5} \left( - \ell^2 + 6 \ell - 4 \right) 1_{\ell} \left[ 2, 3 \right) + 1_{\ell} \left[ 3, \infty \right) $$ Multiplicando ambos podemos obtener la densidad \begin{eqnarray*} 2 f \left( \ell \right) F \left( \ell \right) & = & 2 \left\{ \frac{2}{5} 1_{\ell} \left[ 0, 2 \right) + \left( - \frac{2}{5} \ell + \frac{6}{5} \right) 1_{\ell} \left[ 2, 3 \right) \right\}\\ & \times & \left\{ \frac{2 \ell}{5} 1_{\ell} \left[ 0, 2 \right) + \frac{1}{5} \left( - \ell^2 + 6 \ell - 4 \right) 1_{\ell} \left[ 2, 3 \right) + 1_{\ell} \left[ 3, \infty \right) \right\}\\ & = & \frac{8 \ell}{25} 1_{\ell} \left[ 0, 2 \right) + \frac{4}{25} \left( - \ell + 3 \right) \left( - \ell^2 + 6 \ell - 4 \right) 1_{\ell} \left[ 2, 3 \right) \end{eqnarray*} y por lo tanto \begin{eqnarray*} E \left[ \max \left( L_1, L_2 \right) \right] & = & \frac{8}{25} \int_0^2 \ell^2 \mathrm{d} \ell + \frac{4}{25} \int_2^3 \ell \left( - \ell + 3 \right) \left( - \ell^2 + 6 \ell - 4 \right) \mathrm{d} \ell\\ & = & \frac{637}{375}\\ & \approx & 1.69867 \end{eqnarray*}