Si no me equivoco, se oculta la inducción es cuando usamos algo a lo largo de las líneas de "etc..." en una prueba por inducción. Hay ejemplos de cuándo sería apropiado (o cuando no es apropiado, pero usa de todos modos)?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Es omnipresente en inductiva pruebas por telescopy, por ejemplo, multiplicativo telescópica de cancelación
$\qquad\qquad\, \displaystyle (x-1)(x+1)(x^{\large 2}\!+1)(x^{\large 4}\!+1)\qquad\! \cdots\qquad (x^{\large 2^{\rm N}}\!+\,1)$
$\qquad\ \ \ = \ \displaystyle \frac{\color{#0a0}{x-1}}{\color{#90f}1} \frac{\color{brown}{x^{\large 2}-1}}{\color{#0a0}{x-1}}\frac{\color{royalblue}{x^{\large 4}-1}}{\color{brown}{x^{\large 2}-1}}\frac{\phantom{f(3)}}{\color{royalblue}{x^{\large 4}-1}}\, \cdots\, \frac{\color{#c00}{\large x^{\large 2^{\rm N}}\!-1}}{\phantom{f(b)}}\frac{x^{\large 2^{\large \rm N+1}}\!-1}{\color{#c00}{x^{\large \rm 2^N}\!-1}} \,=\, \frac{x^{\large 2^{\rm N+1}}-1}{\color{#90f}1} $
En cuanto a su pregunta acerca de rigor, informal pruebas como la de arriba puede ser mecánicamente reescrito en un riguroso inductivo de la prueba por cualquier persona que sea competente con telescópica de inducción. Pero eso no es necesariamente el caso para alguien que no es (esp. para hairer problemas donde telescópica de cancelación no es tan obvio).
Así que por lo general depende del contexto, ya sea o no que tales informal de las pruebas será aceptado como completa. Si estamos en un contexto en el que se supone que telescópica de inducción que se conoce luego informal de las pruebas pueden ser, de hecho, se consideran aceptables. De lo contrario, más hay que decir para convencer al lector de que usted sabe cómo completar la prueba estándar en forma inductiva.
Similares observaciones de las formas más comunes de inductivo de las pruebas. Por ejemplo, muchos de mis posts ilustrar cómo el uso de la aritmética modular (congruencias) nos permite transformar muchas inductivo de divisibilidad de problemas en un trivial de inducción como $\, x\equiv 1\,\Rightarrow\, x^n\equiv 1,\,$ consecuencia de la Congruencia de Alimentación de la Regla (la cual tiene un evidente inductivas prueba). En un número contexto teórico en el que no se espera dar un riguroso inductivo prueba de la conclusión de la inferencia, esencialmente $\,1^n\equiv 1\,$ (o, de manera similar $(-1)^{2n}\equiv 1).$, Pero en otros contextos que sería de esperar para ser más explícitos, esp, si está trabajando sin la simplificación del lenguaje de congruencias, por lo que la innata estructura algebraica puede ser mucho más ofuscado, complicando la intuición necesaria para concebir el paso inductivo. Por ejemplo, ver este post donde explico cómo un divisibilidad inductivo prueba de que normalmente es sacado de un sombrero como por arte de magia, no es sino un caso especial de la Congruencia de los Productos de la Regla, y la perspectiva de la prueba se hace evidente desde la perspectiva algebraica.
Robert Petz
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118
Aquí es un ejemplo. Supongamos que $A$ es una matriz diagonalizable, es decir, $A=P^{-1}DP$ donde $D$ está a unos de la diagonal de la matriz. A continuación,$A^k=P^{-1}D^kP$. De hecho, tenemos que $$A^k=(P^{-1}DP)^k=P^{-1}D(PP^{-1})D(PP^{-1})\dots (PP^{-1})DP=P^{-1}D^kP.$$ Aquí lo que en realidad se utiliza la inducción en los puntos. Hay muchos ejemplos de esta moda.
Sean Keeler
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86
En primer lugar, aquí es un ejemplo de esto funciona. Deje $X$ $Y$ ser espacios de Hausdorff. Esto implica $X\times Y$ con el producto de la topología es Hausdorff. Por lo tanto, cualquier producto finito de espacios de Hausdorff es Hausdorff. El oculto "inducción" es la idea de que $X\times Y$ es un espacio de Hausdorff, que implica cualquier espacio de Hausdorff veces $X\times Y$ también es Hausdorff. Este argumento puede continuar para cualquier número finito de espacios.
Un ejemplo de cuando usted no puede utilizar este argumento es la prueba de $\Sigma_{i=1}^n=\frac{n(n-1)}{2}$. Aquí, mostrando la verdad de $n=1$ no lo hace inmediatamente evidente que el resto de la siguiente manera por inducción.
Fue adecuado el uso de esta en el primer problema, ya que estaba claro que se sigue. Pero el segundo problema no es tan obvio. Es como un montón de otros problemas en matemáticas; el matemático debe desarrollar una intuición para cuando algo es obvio, para que no requieren una explicación explícita (por ejemplo,$2*1=2$).
kerchee
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66
Oculta la inducción ocurre mucho en los casos donde se vaya hacia atrás de$n$$1$, el uso de algún tipo de argumento de reducción. Por ejemplo, la prueba de que cada número se puede escribir como un producto de números primos:
Deje $n$ ser algún número. Si es primo, entonces hemos terminado. De lo contrario puede ser escrito como $ab$,$a, b < n$. De nuevo, si $a$ o $b$ es de los primeros, hemos terminado, de lo contrario, puede ser dividido en el mismo camino. Dado que los factores son cada vez más pequeños y más pequeños, este proceso debe detener el tiempo, pero la única forma de parar es que si uno de todos los números involucrados son los principales.
Inducción sirve para reforzar la estructura del argumento, la sustitución de un vago "este proceso debe parar" con una explícita invocación de un axioma:
Supongamos que cada número a menos de $n$ se puede escribir como un producto de números primos. Si $n$ es primo, hemos terminado. De lo contrario, $n=ab$$a, b < n$, lo $a$ $b$ puede ser escrito como el producto de números primos. Por lo tanto, $n$ se puede escribir como un producto de números primos.
