¿Por qué $\frac{dq}{dt}$ no dependen $q$? ¿Por qué el cálculo de variaciones trabajo?

Question

De Euler–Lagrange las ecuaciones para un bob conectado a un resorte se $${d\over dt}\left({\partial L\over\partial v}\right)=\left({\partial L\over\partial x}\right)$$

Pero es $v$ una función de $x$? Normal de pensamiento dice que $x$ es una función de $t$ $v$ es una función de $t$, pero no es necesario que $v$ ser una función de la $x$. Matemáticamente, sin embargo, $x=f(t)$$v=g(t)$, lo $g^{-1}(v)=t$$x=f(g^{-1}(v))$.

La regla de la cadena debe ser aplicado en estas ecuaciones – ¿por qué no aquí? Yo ya había hecho esta pregunta en la física de Intercambio de la Pila, pero se marcó un duplicado. En una de las respuestas que he encontrado de que la dedicación de William Burke Aplica la Geometría Diferencial leer

A todos aquellos que, como yo, se han preguntado cómo puede cambiar $\dot q$ sin cambio $q$.

Yo no podía entender la respuesta allí. Mis matemáticas no es bueno. Así que le pregunté aquí de nuevo. Si alguien pudiera dar una respuesta sin el concepto de colectores, creo que voy a ser capaz de entenderlo.

Answer 1

Me parece que el cálculo de variaciones podrían aprovechar pedagógicamente desde un poco más "dummy variables".

Esto es lo que pienso al respecto: $L$, propiamente hablando, es una función de tres parámetros. Es decir,$L:\Bbb R^3 \to \Bbb R$, de modo que $L(u_1,u_2,u_3)$ es un número de tres entradas $u_1,u_2,u_3$.

Estamos interesados en la función $L(t,x(t),x'(t))$. De Euler Lagrange ecuaciones deben entonces ser escrito como $$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial u_3}(t,x(t),x'(t)) = \frac{\partial L}{\partial u_2}(t,x(t),x'(t)) $$ y esto es lo que el de Euler-Lagrange ecuación es realmente hablando.

Ciertamente, si se le quiere calcular el $\frac{\partial L}{\partial x}(t,x(t),x'(t))$ con las definiciones usuales (o, supongo, con la "alternativa de interpretación"), tendríamos algún tipo de regla de la cadena para el trabajo a través de. Es decir, tendríamos $$ \frac{\partial L}{\partial x}(t,x(t),x'(t)) = \frac{\partial L}{\partial u_2} \frac{\partial u_2}{\partial x} + \frac{\partial L}{\partial u_3} \frac{\partial u_3}{\partial x} = \frac{\partial L}{\partial u_2}(t,x,x') + \frac{\partial L}{\partial u_3}(t,x,x') \frac{\partial x}{\partial x}(t) $$ Sin embargo, esta segunda interpretación es que no la evaluación que estamos interesados.

Answer 2

Hervido, el problema parece ser:

• Para una función en particular, $f$, "la velocidad es determinada por la posición": Precisamente, si usted sabe $f$, entonces (en la práctica) el valor de $x = f(t)$ (esencialmente) determina el valor de $v = f'(t)$ (como se menciona en su pregunta, hasta la relativamente menor ambigüedad señalada en ryan16 del comentario).

• El Lagrangiano, sin embargo, está definida en el espacio de las funciones, y el conocimiento de la altura de un gráfico de $x$ a un punto no le dice nada acerca de la pendiente de la $v$ en ese punto. (A deducir $f'(t)$$f$, usted debe saber que los valores de $f$ en algún intervalo abierto acerca de $t$. Las únicas relaciones entre los valores de $f(t)$ $f'(t)$ son globales, proveniente de las condiciones de contorno y el Teorema Fundamental del Cálculo.)

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En caso de que sea útil, pensar en tres dimensiones, el espacio Cartesiano de coordenadas $(t, x, v)$. Dada una función de $f$, comparar los dos caminos: $$ \gamma_{1}(t) = \bigl(t, f(t), 0\bigr),\qquad \gamma_{2}(t) = \bigl(t, f(t), f'(t)\bigr). $$ Convencerse de que una "pequeña perturbación" de $f$ (la introducción de una zag de pequeña altura, por ejemplo) puede tener un efecto dramático en $\gamma_{2}$, pero ningún efecto visible en $\gamma_{1}$.

Answer 3

Escribí en otro post acerca de este asunto. La forma de escribir de Euler-Lagrange ecuación es bastante confuso para mí, así que me decidí a abandonar el uso de la noción de "diferenciar con respecto a una variable" para aclarar las cosas. Espero que usted puede seguir las siguientes notaciones.

Deje $x:[t_1,t_2]\to \Bbb R$ ser lo suficientemente suave como la función. Para esta función, definir otra función $f_x:[t_1,t_2]\to \Bbb R^3$ por $$f_x(t):=(t,x(t),x'(t)).$$ Let $L:\Bbb R^3\a \Bbb R$ be the Lagrangian that is a smooth enough function. The functional to be optimised is usually written as $$S[x]=\int_{t_1}^{t_2}L(t,x(t),x'(t))dt.$$ But in our notations, we write it as $$S[x]=\int_{t_1}^{t_2}L\circ f_x$$ and we no longer need to specify that we integrate with respect to $t$ because the domain of $L\circ f_x$ es sólo un intervalo.

Derivadas parciales de $L$ dar lugar a nuevas funciones. En nuestro caso, nos preocupación acerca de $$\partial_{e_2}L:\Bbb R^3\to \Bbb R$$ and $$\partial_{e_3}L:\Bbb R^3\to \Bbb R$$ where $e_2, e_3$ are vectors in the standard basis for $\Bbb R^3$.

En nuestra anotación, el de Euler-Lagrange ecuación sería declarado como $$(\partial_{e_3}L\circ f_x)'(t)-(\partial_{e_2}L\circ f_x)(t)=0.$$

Answer 4

Muchos principiantes ir a través de este dolor, y todo es culpa de los físicos que utilizan el muy confuso notación $\dot q$. El enfoque correcto es entender que el Lagrangiano (suponiendo que no depende explícitamente del tiempo) está definida en el espacio de la tangente, y en un local de la banalización de los puntos de la recta tangente espacio de coordenadas $(x_1, \dots, x_n, v_1, \dots, v_n)$ donde $(x_1, \dots, x_n)$ son las coordenadas en la base de la fibration ("la configuración del espacio", como los físicos lo llaman), y $(v_1, \dots, v_n)$ son las coordenadas en el estándar de la fibra. Por lo tanto, $x$ $v$ son independientes de las coordenadas.