Deje $X_n$ ser el estado en el momento $n$ de una cadena de Markov con estas probabilidades de transición : $$p_{i,i+1}=p_i\qquad,\qquad p_{i,i-1}=q_i=1-p_i$$ $(a)$ Muestran que $Z_n=g(X_n)\,;\,n\geq0$, es una martingala con respecto a $X_n\,;\,n\geq0$, cuando se $g(1)=1$, y $$g(j)=1+\sum_{i=1}^{j-1}\frac{q_1\cdots q_i}{p_1\cdots p_i}\,;\,j\geq 2$$ $(b)$ Encontrar la probabilidad de que, de partida en el estado de $i$, de que la cadena llegue a $n$ $0$ donde $0<i<n$.
**#** a partir de Ross, los Modelos de Probabilidad para Ciencias de la computación
He probado la parte $(a)$ fácilmente, y escribió para las próximas información necesaria.
Para la parte $(b)$, a pesar de Martingala enfoque, creo que es una buena idea para encontrar una relación recursiva para encontrar el deseado de probabilidad, como hacemos para que el Jugador Ruina del Problema, de la siguiente manera :
Deje $a_k$ ser el tal probabilidad, a partir del estado de $1\leq k\leq n-1$. Ahora podemos escribir : $$(p_k+q_k)a_k=a_k=p_k.a_{k+1}+q_k.a_{k-1}\Longrightarrow \frac{p_k}{q_k}=\frac{a_{k+1}-a_k}{a_k-a_{k-1}}\etiqueta{*}$$ También podemos definir manualmente $a_0=0,a_n=1$. Pero a partir de ahora no sé hay alguna manera de extraer una fórmula para $a_k$. Por favor, ayúdame AQUÍ !
Volviendo a Martingales, si definimos $N=\min\{t\geq 0|X_t=n\vee X_t=0\}$, $N$ es una Escala de Tiempo para $Z_i$ y el :
$Z_N=\left\{ \begin{array}{lc} g(n)&\text{with probability %#%#%}\\ g(0)&\text{with probability %#%#%} \end{array} \right.$.
donde $p$ es la probabilidad de la cadena llegue a $q$ $p$ $n$ es la probabilidad de la cadena llegue a $0$$q$. Por lo tanto, por el Tiempo de Parada Teorema, $0$$ Pero $n$(por qué?), intuitivamente, porque de manera positiva la recurrencia de la subcadena $$p.g(n)+q.g(0)=\mathbb{E}[Z_N]=\mathbb{E}[Z_0]=\mathbb{E}[g(i)]=g(i)\tag{**}$. Por lo tanto, $q=1-p$ se deriva de la $\{0,1,\cdots,n\}$
