Dejemos que $\mathrm{Grpd}$ denota la categoría de todos los groupoides. Sea $\mathrm{Grp}$ denotan la categoría de todos los grupos. ¿Existen funtores $F\colon\mathrm{Grpd}\rightarrow \mathrm{Grp}, G\colon\mathrm{Grp}\rightarrow \mathrm{Grpd}$ tal que $GF=1_{\mathrm{Grpd}}$ .
Queridos todos, sé que la pregunta no es fácil (al menos para mí). No pretendo que resolváis un problema que posiblemente no os interese y perdáis el tiempo en él. Sólo preguntaba para ver si alguien había visto algo similar para que me diera una referencia al respecto
Gracias
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@Kevin Carlson He intentado encontrar un functor de este tipo pero no he podido. Tampoco creo que haya nada que valga la pena en mis ensayos para encontrar tal functor
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No tengo ninguna razón para esperar que ese par de funtores exista. Al menos deberías indicar cuál crees que es la respuesta y por qué.
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Eso está bien; también podrías decir algo sobre por qué quieres esos funtores y la cantidad de teoría de categorías que tienes. En particular, el requisito de que $GF=1$ en lugar de $GF\cong 1$ es antinatural.
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@KevinCarlson Incluso permitiendo $G F \cong \mathrm{id}$ en lugar de $G F = 1$ no cambia realmente mi expectativa de que no existe tal par de funtores. Por ejemplo, ¿dónde van a ir los groupoides discretos y cómo vamos a recuperarlos?
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@Zhen lin Encontré functores $F_1:Grp\rightarrow Grpd ,F_2:Grpd\rightarrow Grp$ tal que $F_2F_1=1_{Grpd}$ . No sé si los funtores $F,G$ descritas en mi pregunta existen
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@ZhenLin No creo que existan. Quería ver si esos funtores ya estaban construidos y esperaba que alguien me dirigiera a una referencia
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Queridos todos, sé que la pregunta no es fácil (al menos para mí). No espero que resolváis el problema ni que perdáis el tiempo en ello. Solo preguntaba para ver si alguien había visto algo similar y me diera una referencia al respecto
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@ZhenLin Estoy de acuerdo en que probablemente no existan. Gracias por la información adicional, Amr, pero al menos ahora mismo no sé cómo demostrar que no existen esos funtores.
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@KevinCarlson Gracias por tu ayuda también. Informalmente, la pregunta es si existe algún functor $F:Grpd\rightarrow Grp$ tal que uno puede recuperar el groupoide a partir de su imagen. El problema con un functor de este tipo es que los objetos deben convertirse de alguna manera en elementos de un grupo. Esto parece extraño
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@KevinCarlson Los objetos y los morfismos deberían convertirse en elementos de un grupo, lo cual es extraño.