Describir todos los grupos cociente de $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$

Question

Estoy pensando en un problema de topología algebraica de la forma de determinar todas las $k$veces cubre de $\mathbb{T}^2$ donde $k$ es un cierto entero. En el pensamiento sobre el problema, y me vino a la siguiente pregunta:

Es claro que cada homomorphism $\phi:\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ puede ser representado por una $2\times 2$ de la matriz sobre los números enteros (es decir, $\phi = \begin{pmatrix} a & b \\ c& d \end{pmatrix}$ donde $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$). Si $\phi$ tiene un núcleo, podemos decir necesariamente que el cociente grupo $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} / \ker(\phi)$ tiene la forma $\mathbb{Z}_m \oplus \mathbb{Z}_n$ donde $m$ $n$ son algunos de los números enteros? Si no, ¿se puede muy bien representar a todos los grupos cociente de $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} / \ker(\phi)$ donde $\phi: \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$? Por otra parte, ¿cómo la representación de la matriz de $\phi$ se refieren a la proporción de los grupos? Por ejemplo, el determinante de la matriz de dar a todos o a la mayoría de la información que usted necesita para encontrar el cociente de los grupos?

Mi motivación en la consideración de que este es, como ya he mencionado, $k$veces cubre de $\mathbb{T}^2$. El grupo fundamental de la $\mathbb{T}^2$ de curso $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$. Quiero relacionar el determinante de a $\phi$ cómo muchas veces una cubierta mapa cubre $\mathbb{T}^2$. Por ejemplo, $k$- pliegue de la cubierta $p: \mathbb{T}^2 \to \mathbb{T}^2$$\det(p_\star) = k$. Donde $p_\star: \pi_1(\mathbb{T}^2) \to \pi_1(\mathbb{T}^2)$ es la inducida por la homomorphism . No estoy seguro de que esto es cierto, pero motivado a mi pregunta.

Gracias por su ayuda!

Answer 1

$\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}$

1. Cualquier cociente de $\ZZ\times\ZZ$ tiene la forma $\ZZ_m\times\ZZ_n$ donde $m,n$ podría ser cero (en cuyo caso se establezca $\ZZ_0 := \ZZ$). Sin embargo, en el caso de $(\ZZ\times\ZZ)/\ker\phi$ es sólo la imagen de $\phi$, que la mentira en $\ZZ\times\ZZ$, no han de torsión. Por lo tanto, $(\ZZ\times\ZZ)/\ker\phi$ tiene necesariamente la forma $\ZZ\times\ZZ$ o $\ZZ$ o $0$.

2. El valor absoluto del determinante de a $\phi$ es el índice de la imagen de $\phi$ $\ZZ\times\ZZ$ (a menos que el determinante es cero, en cuyo caso la imagen es $0$ o $\ZZ$, y el índice es infinito) Esto debido a que usted puede utilizar elementales de fila y columna de las operaciones de la matriz de $\phi$ a diagonalize, que corresponde a la aplicación de automorfismos el dominio/rango de $\phi$, que por supuesto no cambia el índice de la imagen. Por supuesto, si usted tiene una diagonal de la matriz diagonal con entradas de $a,d$, entonces el determinante es sólo $ad$, y la imagen se $a\ZZ\times d\ZZ$, fácilmente se ve que tiene el índice de $|ad|$.

3. Sí, el índice de la imagen de la inducida por el mapa de los grupos es exactamente el grado de la correspondiente tapa. Tenga en cuenta que debido a que cubre los mapas de satisfacer la homotopy extensión de la propiedad, la inducida por el mapa de los grupos que vienen de una cubierta es necesariamente inyectiva. Por lo tanto, el determinante es distinto de cero y el mapa tiene trivial kernel.

4. Conectado grado $k$ cubre de un espacio de $X$ están en bijection con las clases conjugacy de los subgrupos de índice $k$. El conjunto de todos los grados $k$ cubre de $X$, no necesariamente conectados, están en bijection con (clases de equivalencia) homomorphisms $\pi_1(X)\rightarrow S_k$, donde el conectado cubre corresponden a las homomorphisms cuya imagen es transitivo subgrupo de $S_k$. (Se puede averiguar cuál es la relación de equivalencia debe ser?)