$\det\left(I + A^TA^{-1}\right) = 2\left(1 + \operatorname{tr}\left(A^TA^{-1}\right)\right)$

Question

Deje $A$ ser invertible $3\times3$ matriz con valores complejos. Probar que: $$\det\left(I + A^TA^{-1}\right) = 2\left(1 + \operatorname{tr}\left(A^TA^{-1}\right)\right)$$

He tratado de resolver este problema con polinomio característico pero al final me quedé atrapado en una expresión involvind Newton identidades con respecto a que el polinomio. No puedo relacionar $A^TA^{-1}$ con polinomio característico.

Answer 1

Si $B = A^T A^{-1}$,$\det(B) = 1$. Por otra parte, $1$ es un autovalor de a $B$ porque $B - I = (A^T - A) A^{-1}$, $A^T - A$ es antisimétrica, y cualquier matriz antisimétrica en dimensiones impares debe ser singular. Si los autovalores de a$B$$1, \lambda, 1/\lambda$, $\text{tr}(B) = 1 + \lambda + 1/\lambda$ y $\det(I+B) = 2 (1 + \lambda) (1 + 1/\lambda) = 4 + 2 \lambda + 2/\lambda$.

Answer 2

SUGERENCIA: Todos los complejos de la matriz se puede poner en la parte superior de la forma triangular. Pruebe que para cualquier matriz diagonal $A$ primera.