Voy a considerar el intervalo de $[0,2\pi]$ por simplicidad de notación. Considere la matriz
$$
A = \left(
\begin{array}{cc}
\sin ^2\tfrac{\theta }{2} & - \sin
\tfrac{\theta }{2} \cos
\tfrac{\theta }{2} \\
-\sin \tfrac{\theta }{2}\cos
\tfrac{\theta }{2} & \cos
^2\tfrac{\theta }{2}
\end{array}
\right),
$$
que define una $R$-lineal mapa de $p:R^2\to R^2$. Computación $A^2$ vemos que $p^2=p$, lo $p$ es idempotente, y su núcleo es un proyectiva $R$-módulo de $P$.
Ahora, considere el mapa $$
\phi : f\M \mapsto(f(\theta)\cos \tfrac{\theta }{2},f(\theta)\pecado
\tfrac{\theta }{2}) \in R^2.
$$
Se trata claramente de un $R$-lineal inyectiva mapa, cuya imagen es, precisamente, el núcleo de $P$$p$. De ello se desprende que $M\cong P$, y esto se muestra projectivity.
La no-libertad es más sutil...
Hay un morfismos de anillos de $\varepsilon:R\to\mathbb R$ dado por la evaluación en $0$. Uno puede ver que $P\otimes_R\mathbb R$ es de dimensión$1$$\mathbb R$, por lo que si $P$ es libre, es libre de rango $1$. En ese caso, $M$ estaría libre de rango $1$: supongamos que es así, y vamos a $h\in M$ ser un generador. Es inmediato luego de que cada elemento de a $M$ tiene que desaparecer donde $h$ se desvanece. Pero uno puede encontrar fácilmente un elemento de $M$ cuyo único cero no es un cero de $h$.
