¿Qué es tan especial acerca de la característica 2?

Question

Muchas veces he leído acerca de las cosas que no funcionan en un campo con una característica de $2 dólares, principalmente las cosas que tienen que ver con el factoring, o cosas similares. No estoy exactamente seguro de por qué, pero el único ejemplo de este tipo de un campo en el que puedo pensar es de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, que en sí es un campo interesante ya que contiene sólo los elementos de identidad para los dos grupos, y naturalmente, es cíclico campo. Hacer estas propiedades llevar a que el hecho de que muchas cosas no funcionan si el charateristic es de $2$

Cualquiera de los ejemplos de cosas que se rompen en un campo también son bienvenidos.

Answer 1

Dos es el más pequeño (y como a veces las personas dicen: esta extraña) de todos los números primos.

Sólo para tomar un ejemplo inventado, digamos que usted desea mostrar

Si la suma de dos cuadrados es igual al cuadrado de la suma, a continuación, uno de los dos es cero.

Bueno, eso es fácil, solo tiene que transformar $a^2+b^2=(a+b)^2$ obtener $0=2ab$; y como un producto es de $0$ sólo si uno de los factores es cero, a la conclusión de que $a=0$ o $b=0$. Hecho? No! Se nos olvidó el tercer factor. Le debe haber dicho: $a=0$ o $b=0$ o $2=0$. Y esto último es exactamente lo que sucede en el carácter $2$, es decir, en el carácter $2$ nuestra reivindicación no (necesariamente) mantenga.

Para decirlo de otra manera: En el intento de llegar a $ab=0$ tuvimos que dividir por $2$, y como siempre, cuando la división debemos asegurarnos de que no nos accidentalmente dividir por cero. Sucede muy a menudo que usted tiene que dividir por algo. Si necesita dividir por $a-b$, dicen, puede evitar el problema mediante la adición de una condición a su reclamo ("... siempre $a\ne b$"). Pero a veces es necesario dividir por una explícita constante como $2$ en nuestro ejemplo. En caso de que la condición para ser añadido a la reclamación debe ser que la característica de que el campo no es un divisor de esa constante.

El hecho de que a menudo es sólo característico $2$ que debe ser mencionado como excepción podría ser llamado una consecuencia de la ley de los pequeños números: sucede mucho más a menudo que un factor $2$ emerge naturalmente de un factor $97$, dicen. Por eso característica de $2$ tan a menudo y características de los $3$ a veces juega un papel especial.

Answer 2

En un campo de característica dos, todo es su propio inverso aditivo. por lo que $x=-x$ para cada elemento, y en un montón de pruebas, nos muestran algo que es de $0$ demostrando que es igual a su propio inverso aditivo. Esto, obviamente, falla en los campos de la característica 2.

Cualquier campo finito de característica 2 resulta ser el único campo finito de orden de $2^n$ $n$. Infinitos campos existen, la más simple sería el campo de los racionales de polinomios de más de $\mathbb Z / \mathbb 2Z$

Answer 3

Uno de los muchos ejemplos en los que la característica de $2$ hace las cosas muy difíciles es la clasificación de la simple Mentira álgebras de más de algebraicamente cerrado campos. Para la característica cero la prueba de que funciona muy bien. Para la característica principal de $p$ las cosas se ponen mucho más difícil; también el resultado es más complicado. Sin embargo se ha logrado para todos los p $>5$; y, en parte, por $p=5$ e p $=3$. Sólo $p=2$ parece ser desesperada. Las razones que se han discutido aquí, por ejemplo, la Matanza de forma no ayuda mucho después; la traza de la matriz de identidad pueden desaparecer etc.

Answer 4

Hay un nivel relativamente bajo de la razón, en parte, mencionado por Hagen von Eitzen, que es de $2$ es el más pequeño de primer de todos ellos, y por lo tanto aparece en más lugares que en otros, incluso en el más abstracto de los teoremas. Este tipo de pequeños casos especiales se convierte en todas partes debido a las constantes son generalmente pequeñas.

Por ejemplo, considere la ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ $a,b,c \in F$ para algún campo de $F$. Un caso especial es $a = 0$, lo que puede manejar con facilidad. A continuación, se procede por la costumbre de completar el cuadrado de la técnica para obtener $(2ax+b)^2 = b^2-4ac$. Supongamos que nos vamos de $\sqrt{d}$ denotar arbitraria de la raíz cuadrada de $d$ de $F$, a continuación, obtener $2ax = -b \pm \sqrt{b^2-4ac}$ como de costumbre. Dado que $a \ne 0$, podemos dividir ambos lados por $$, pero estamos atascados con los $2$ menos $char(F) \ne 2$. Ahora, ¿cómo hicieron los $2$ aparecer? Fue un completamente natural resultado de la identidad de $(s+t)^2 = s^2 + 2o + t^2$, simplemente porque $1+1 = 2$. Lo que ocurre es que $2$ es un número primo, y así la característica de que tenemos que excluir es de $2 dólares de sí mismo para asegurarse de que $2$ tiene un inverso multiplicativo.

Del mismo modo, cuando la solución de la ecuación cúbica en un campo arbitrario, se encuentra exactamente el mismo problema con $3$. Si lo hizo por Lagrange resolvents después de la obtención de la depresión cúbicos, tendríamos tres raíces $a,b,c$ tales que $0 = a+b+c$, y dejamos que $x = a + ζ b + z^2 c$ y $y = a + z^2 b + z c$ donde $z$ es una primitiva raíz cúbica de la unidad. Resulta que $x^3,y^3$, ambos están en $F(\sqrt{D})$, donde $D$ es el discriminante de la cúbico, por lo que podemos expresar en términos de $a,b,c$ solo, siempre y $2$ tiene una inversa ($2$ aparece en el cálculo 'por accidente'). A continuación, añadimos los tres ecuaciones y dividir por $3$ para obtener$$, que por supuesto necesita $3$ a sea invertible. Así que al menos para este método se necesita que el campo tenga carácter ni $2$ ni $3$.