¿Esta es una nueva fórmula?

Question

Es muy de noche y estoy cansado, pero sólo se tropezó con esto mientras hacía mi tarea. ¿Alguna posibilidad de esto es nuevo? ¿O, tal vez, de alguna manera a transformarla y sigue siendo básicamente la misma fórmula? En ese caso, perdóname, por favor.

De todos modos, aquí está. Es una función recursiva (así, de uso limitado!?) para calcular la suma de los factoriales:

$f(n) = \sum\limits_{i=1}^n i! = \frac{(n+1)!}{n}+f(n-2)$

con

$f(0) = 0$ and $f(-1) = -1$

¿Es este útil a todos o fue solo perder mi tiempo? :)

Answer 1

La fórmula es ciertamente verdadero. Volver a organizar lo que escribiste que tienes

$$ f(n) - f(n-2) = n! + (n-1)! = n(n-1)! + (n-1)! $$

$$ = (n+1)\times (n-1)! = \frac{(n+1)\times n\times (n-1)!}{n} = \frac{(n+1)!}{n} $$

pero no creo que es especialmente más útil que la observación de, digamos,

$$ f(n) = n! + f(n-1) $$

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La definición de su función como la suma significa que naturalmente puede ser descrito de forma recursiva. No creo que la formulación que dio ofrece alguna ventaja particular a la fórmula de la suma, por desgracia.