No estoy seguro de si hay algo en la literatura, pero puede ser reformulado en términos de la media de los recíprocos de la secuencia de Farey. Ver esta relacionado con MSE hilo de una serie similar que produce una casi idéntica término principal. Se incluye una breve prueba de sus resultado en la parte inferior - es mejor mantener la suma juntos en lugar de la división.
Deje $F_{k}$ denotar la secuencia de Farey de orden $k$, de modo que cuando
$k=6$ hemos $$F_{6}=\left\{ \frac{0}{1},\ \frac{1}{6},\ \frac{1}{5},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{5},\ \frac{1}{2},\ \frac{3}{5},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{5},\ \frac{5}{6},\ \frac{1}{1}\right\}.$$ In particular, $|F_{k}|=1+\sum_{n\leq k}\phi(n)$. Luego de su anterior identidad es equivalente al hecho de que
$$\mathbb{E}_{y\in F_{N}}\frac{1}{y}=\log N+\gamma-\frac{\zeta'(2)}{\zeta(2)}-\frac{1}{2}+O\left(\frac{\log^{2}N}{N}\right)$$
Para ver por qué, aviso que
$$\sum_{\begin{array}{c}
a,b\leq N\\
(a,b)=1
\end{array}}\frac{b}{a}=-1+\sum_{y\F_{N}}y+\sum_{y\F_{N}}\frac{1}{y}.$$
Como la secuencia de Farey es la simetría, podemos ver que
$$\sum_{y\in F_{N}}y=\frac{1}{2}|F_{n}|,$$
y desde $|F_{N}|=1+\sum_{n\leq N}\phi(n)=\frac{3}{\pi^{2}}N^{2}+O\left(N\log N\right)$,
de ello se sigue que
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}_{y\in F_{N}}\frac{1}{y} & = & \frac{1}{|F_{N}|}\sum_{y\in F_{N}}\frac{1}{y}\\
& = & \log N+\gamma-\frac{\zeta'(2)}{\zeta(2)}-\frac{1}{2}+O\left(\frac{\log^{2}N}{N}\right),
\end{eqnarray*}
Un corto de prueba: el Uso de Möbius de la inversión, tenemos que
$$
\sum_{\begin{array}{c}
a,b\leq N\\
(a,b)=1
\end{array}}\frac{b}{a}=\sum_{a,b\leq N}\frac{b}{a}\sum_{d|a,b}\mu(d)=\sum_{d\leq N}\mu(d)\sum_{a\leq\frac{N}{d}}\sum_{b\leq\frac{N}{d}}\frac{b}{a}.
$$
Utilizando el hecho de que $\sum_{n\leq N}n=\frac{\left[N\right]}{2}\left(\left[N\right]+1\right)$,
y la expansión de la serie armónica, esto se convierte en
$$
\sum_{d\leq N}\mu(d)\sum_{a\leq\frac{N}{d}}\frac{1}{a}\sum_{b\leq\frac{N}{d}}b=\frac{1}{2}\sum_{d\leq N}\mu(d)\left(\left[\frac{N}{d}\right]^{2}+\left[\frac{N}{d}\right]\right)\left(\log\left(\frac{N}{d}\right)+\gamma+O\left(\frac{d}{N}\right)\right),
$$
y, cuidadosamente, tratando con los términos de error, llegamos a
$$
\frac{N^{2}\log N}{2}\sum_{d\leq N}\frac{\mu(d)}{d^{2}}-\frac{N^{2}}{2}\sum_{d\leq N}\frac{\mu(d)}{d^{2}}\log d+\frac{\gamma N^{2}}{2}\sum_{d\leq N}\frac{\mu(d)}{d^{2}}+O\a la izquierda(N\log^{2}N\right)
$$
que se convierte en
$$
\frac{3N^{2}}{\pi^{2}}\left(\log N+\gamma\frac{\zeta'(2)}{\zeta(2)}\right)+O\a la izquierda(N\log^{2}N\right).
$$
como se desee.
